퍼즐인가 아니면 아니면 단지 기하학 문제인가?
부력의 원리를 발견하고서는 유레카 라고 외친 아르키메데스 (Archimedes, 287 ~ 212 B.C) 는 다들 알고 계시죠?
그 아르키메데스가 스토마키온 (Stomachion) 이라는 퍼즐도 만들었습니다.
그런데 이 스토마키온을 퍼즐로 볼 것이냐 아니면 단지 기하학 내지는 도형 연구의 대상으로 볼 것이냐에 대해서는 의견이 분분한 것 같습니다.

퍼즐러 갱의 생각에는 아르키메데스가 처음 스토마키온을 저술했을 때 비록 퍼즐 범주에 넣지 않았다 할 지라도 결과적으로는 퍼즐의 속성을 가지고 있기에 퍼즐로 볼 수 있다고 생각합니다.
아르키메데스의 스토마키온과 유사한 형식을 지닌 수많은 퍼즐들을 엄연히 퍼즐(분할 퍼즐 또는 실루엣 퍼즐)로 인정하고 있기에, 아르키메데스의 스토마키온 또한 엄연한 퍼즐로 인정할 수 있을 것 같기 때문입니다.
(분할 퍼즐과 실루엣 퍼즐에 대해서는 다음 기회에 좀더 자세히 다루어 보겠습니다.)
혹시 아르키메데스가 스토마키온을 고안했을 때 이미 퍼즐의 속성을 염두에 두었을 지도 또 모를 일입니다.

스토마키온 모양
먼저 아르키메데스 퍼즐 스토마키온 사진을 보여드리겠습니다.
그런데 사이트마다 스토마키온 모양을 약간씩 달리해서 보여줍니다.
그래서 일단 다양한 스토마키온 도안을 제시해 보겠습니다.

(출처: http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html)

 


(출처: http://www.archimedes-lab.org/latin.html#archimede)

 


(출처: www.wikipedia.org)

 


(출처: www.wikipedia.org)

 


(출처: www.wikipedia.org)

 


스토마키온을 실제의 나뭇조각을 활용하여 퍼즐로 만든 것은 아래와 같습니다. 좀더 정확히 서술하면 사실 아래 사진속의 재료는 나무가 아니라 골판지입니다.^^

(출처: www.puzzlepalace.com)

 

 

전반적으로 보았을 때 맨 위에 보여드린 모델보다는 아랫쪽 모델들이 더 자주 인용되는 것 같습니다.
이것은 아마도 한가운데의 큰 삼각형으로 인해 왠지 모르게 안정감이 있어 보이기 때문이 아닐까 생각해 봅니다.
그런데 이것은 뒤에서 설명하겠습니다만 어떤 형태로 각 조각들을 넣어 보여준다 할 지라도 모두 스토마키온입니다.

위 사진에서 특이하게 보이는 숫자는 무엇일꼬?
눈썰미 있는 분들은 위 사진에서 왠지 이상한, 어색한, 동일하지 않은 숫자에 의문을 가졌을 것입니다.
과연 무엇일까요?
그것은 바로 각 다각형의 면적이랍니다.
그런데 숫자를 보여주는 사진 두장의 숫자가 서로 다르네요?
어인 일일까요?
이를 설명하기 위해서는 먼저 위에서 세번째 도안을 자세히 볼 필요가 있습니다.
바탕에 눈금이 있기 때문에 각 조각들의 면적을 계산해 볼 수 있을 것입니다.
그 각 조각들의 실제 면적을 표시한 것이 바로 네번째 사진입니다.
3이 2개,
6이 4개,
9가 1개,
12가 5개,
21이 1개,
24가 1개 가 표시되어 있지요.

그런데 각 조각들의 면적 숫자를 자세히 한번 보시지요.
모든 각 조각들 면적의 최대 공약수가 있습니다.
바로 3이지요.
즉, 위의 숫자를 모두 3으로 나누면,
1, 2, 3, 4, 7, 8이 됩니다.
바로 이 숫자들이 위에서 두번째 사진에 나와 있는 숫자들입니다. 결국,
1이 2개,
2가 4개,
3이 1개,
4가 5개,
7이 1개,
8이 1개 가 되는 것입니다.

그럼 도대체 어떻게 가지고 노는 것일까? 미션은 무엇일까?
지금까지는 스토마키온을 그저 설명만 했습니다만 궁금증이 더해만 갑니다.
도대체 이것을 가지고 뭘 하라는 걸까요?
물론 이미 짐작하셨겠지만,
게임으로서의 스토마키온은 정육면체를 분할해 놓은 14개의 조각을 가지고서 동물, 식물, 그리고 다양한 모양을 만드는 것입니다. 예를 들면, 코끼리, 나무, 짖는 개, 배, 칼, 탑 등의 모양을 만드는 것입니다.
두번째는 위 각 조각들을 다시 조합해서 새로운 조합의 정사각형을 만들어 보는 것입니다.
퍼즐러 갱이 대충 해 본 결과 별도의 모양을 만드는 것보다는 정사각형을 만드는 것이 좀더 쉽더군요.
그 이유에 대해서는 아래에서 다시 설명하도록 하겠습니다.

스토마키온 문제와 해답
먼저 각종 문양을 만드는 것에 대한 것입니다.
예를 들면 아래의 사진들과 같은 모양들을 한번 만들어 보시기 바랍니다.
마치 칠교놀이처럼 다양한 문양들을 만들어 낼 수 있습니다.

(출처: http://fernandolillo.blogspot.com/2008/06/stomachion-o-loculus-archimedius-el.html)


(출처: http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachion.html)


(출처: http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html)


(출처: http://www.hs-augsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost3.html)


(출처: http://www.hs-augsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost3.html)


(출처: http://www.hs-augsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost3.html)

 


(출처: http://www.archimedes-lab.org/latin_ostomachion.html)

 


(출처: http://www.archimedes-lab.org/latin_ostomachion.html)


위에 보이는 모양들을 만드는 방법에 대해서는 딱이 수학적으로 증명하는 것이 어려울 듯 합니다. 아직까지 퍼즐러갱도 보지 못했구요.
각자 스토마키온을 가지고 노는 사람들이 이 세상에 발표되지 않았던 자신만의 독특한 문양을 만들어 낼 수도 있겠지요.^^

두번째는 위에서 언급한 이 스토마키온 퍼즐의 두번째 미션에 관한 것입니다.
이 부분에 대해서는 많은 사람들에 의해서 수학적으로 연구한 결과가 있습니다.
먼저 14개의 조각을 가지고서 정사각형을 만드는 방법에는 총 17,152 가지의 방법이 있다고 합니다.
이중에서 실질적으로 좌우대칭이거나, 회전시켜보면 실상은 같은 경우를 배제하면 총 536 가지의 방법이 있다고 합니다. (참고로 17,152 는 536 의 32배입니다.)
이러한 사실은 빌 커틀러 (Bill Cutler) 가 2003년에 컴퓨터 프로그램을 통해서 밝혀 냅니다.
(빌 커틀러에 대해서는 예전에 포스팅한 '버(Burr)하면 떠오르는 빌 커틀러(Bill Cutler)를 소개합니다.' 글을 참조하시기 바랍니다. 여기서 빌 커틀러의 대단함을 새삼 다시 한번 느껴 봅니다.)
그 536 가지의 경우를 한장의 그림으로 표현하고 있는 것이 있어 가져와 봅니다.

 

(출처: http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachion.html)

 


위 사진에서 보시면 노란색으로 표시된 것이 보일 것입니다.
그것이 바로 일반적으로 언급되고 있는 스토마키온 퍼즐 모양입니다.
그렇다면 맨 처음에 소개했던 스토마키온 퍼즐은 바로 위 사진 중 어디에 위치하고 있을 까요?
한번 찾아보시지요.
눈알 빠질 겁니다. ^^
퍼즐러 갱 책임 못집니다요~~
헤헤헤.

어기서 잠깐!!
536 가지의 '536'은 5월 36일이라고 읽을 수도 있으며, 36일은 실제로 없으니 이것을 실제 날짜로 환산하면 6월 5일이 되겠지요. 그래서 어떤 사람은 우스갯소리로 6월 5일을 '아르키메데스의 날 (Archimedes Day)' 로 정하자고 제안하기도 합니다.
그럴싸한 발상에 찬사를 보냅니다.

스토마키온의 변형
스토마키온은 위의 14조각이 보편적으로 인용되는 것입니다만, 다른 종류의 스토마키온도 가끔 언급되고 있습니다. 다른 종류의 스토마키온이라 하면 기본적 14조각 스토마키온을 약간 변형한 것에 불과합니다.
기존의 14조각 중 일부를 통합하여 조각 수를 줄인 것이지요.

먼저 11개의 조각으로 구성된 스토마키온부터 말씀드리겠습니다.
11개의 조각으로 구성된 스토마키온은 특별히 스토마크 (Stomach) 라고 불립니다.
(조각수가 3개가 줄어들었기에 Stomachion 의 철자에서 맨 뒤의 철자 3개를 뺀 것이라고 합니다.)
아래 사진에서 보는 것처럼 인접한 조각들을 통합하여 조각수를 줄인 것입니다.

(출처: http://www.math.ucsd.edu/~fan/stomach/)

 

조각 수가 줄었으니 한결 심플해졌지요.
자! 이 새로운 스토마크 퍼즐 조각을 가지고서 다시 정사각형을 만든다고 하면 가능한 해답 수는 몇개일까요?
기본 스토마키온의 경우보다 그 수가 많아질까요 아니면 적어질까요?
아래에 그 정답을 제시할 것입니다만 정답을 읽기 전에 미리 한번 추론해 보는 것도 재미 있을 것 같습니다.

스토마크의 경우도 원 스토마키온처럼 회전시키거나, 좌우대칭인 것들을 동일한 것으로 치느냐 안치느냐에 따라 숫자가 달라집니다.
다른 것으로 간주하면 총 2,144 가지, 동일한 것으로 간주하면 268 가지가 있다고 합니다.
기본 스토마키온의 경우보다 숫자가 줄어들었네요.^^
아무래도 조각 수가 적어지다 보니 가능한 조합 수도 줄어든 것이겠지요.

그런데 여기서 2,144 가지는 268 * 8 이 됩니다. 
그리고 원 스토마키온의 가지 수인 17,152 와 536 은 각각 268의 64배, 2배가 됩니다.
퍼즐러 갱 위 사항에 대해서 정확한 의미나 원인은 아직 모르는 상태입니다. 그저 신기하다고 여기고 있을 뿐이지요.

이 Stomach 를 실제 퍼즐로 만든 사진을 보여드립니다. 위에서 이미 제시한 스토마키온 퍼즐이나 아래의 스토마크 퍼즐 모두 예전에 소개한 조지 밀러 (George Miller) 가 제작한 것입니다.

(출처: www.puzzlepalace.com)

 

여기서 질문 하나 더 내 보겠습니다.
위 스토마크 퍼즐을 가지고서 만들 수 있는 볼록다각형 종류는 몇개일까요?
단 내부 조각들의 배치는 무시하고 외곽선을 기준으로 하는 것입니다.

정답은 637 가지랍니다.
3각형: 3 가지
4각형: 58 가지
5각형: 104 가지
6각형: 198 가지
7각형: 181 가지
8각형: 82 가지
9각형: 10 가지
10각형: 1 가지

예를 들면 3각형에는 3가지의 모양이 다른 삼각형이 있다는 소리입니다.
아울러 모양이 다른 삼각형 중 그 하나를 만드는 방법에는 매우 많은 방법이 있구요.
삼각형 안의 각 조각들 배치를 달리하면서 매우 많은 조합을 통해서 동일한 삼각형을 만들 수 있습니다.
그러나 앞에서 말했듯이 삼각형 모양은 딱 3개 뿐입니다.

위 가지 수에서 신기한 것은 10각형의 경우 대칭인 도형이라고 하는군요.

현재까지는 최대 10각형까지 발견되었다고 하는군요.
혹시 11각형 이상의 볼록 다각형을 만들수 있다면 기네스북에 올라갈 수도 있습니다.

10각형의 경우에는 단 한종류만이 가능한데 그 구성 방식은 여러가지가 있을 수 있습니다. 
아래에 그 결과를 보여드립니다.
마치 다이아몬드처럼 생겼네요.

(출처: http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachion.html)



또다른 변형은 Stretched Stomachion (Son of Stomachion) 이라는 것입니다.
아래 사진처럼 생겼습니다.

(출처: www.puzzlepalace.com)

 

어라?
기본 배치와 조각 수는 동일한데 좌우로 2배 늘린 것만 다르네요.
예 그렇습니다.
정사각형 대신 좌우로 긴 직사각형을 구성하는 것입니다. 물론 가로 세로 비율은 2:1 이구요.

그런데 Stretched Stomachion 에서도 조각 수를 줄인 것이 있습니다.
아래 그림에서 볼 수 있듯이 조각 수가 13개 또는 12개인 Stretched Stomachion 도 있습니다.

(출처: http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionHaupt_EN.htm)

 

(출처: http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionHaupt_EN.htm)

 

여기서 다시 한번 문제를 내 보겠습니다.
바로 위에 있는 12 개 조각의 Stretched Stomachion 을 가지고서 정사각형을 구성하는 방법은 몇가지가 있을까요?
아니면 위에서 살펴 보았던 표준 스토마키온이나 스토마크의 경우와 비교해서 많아질까요, 적어질까요?
역시 아래에 정답을 제시할 것입니다만 먼저 추론을 해 보시지요?
참고로 표준 스토마키온의 경우에는 17,152 종류와 536 종류였습니다. 
스토마크의 경우에는 2,144 종류와 268 종류였습니다.

정답을 말씀드리면 표준 스토마키온의 경우보다 그 종류가 많아진답니다.
총 25,472 종류가 있으며, 그 중 대칭이거나 회전하면 동일한 경우의 중복 카운팅을 배제하면 총 3,184 종류라고 합니다. (참고로 25,472 은 3,184 의 8배입니다.)
표준 스토마키온보다 훨씬 숫자가 많지요?
그 이유를 퍼즐러 갱은 잘 모르겠습니다. 양해해 주세요~~

스토마키온의 유래
스토마키온은 기본적으로 아르키메데스의 수학 논문입니다.
그렇다고 해서 아르키메데스가 직접 쓴 것은 아닙니다.
여러 다른 저술들은 원본에 의해 확인이 되었으나 이 스토마키온은 구전으로만 전해져 내려오던 것이었습니다. 그러던 중 비잔틴 시대(10세기 경)에 고대 그리스어로 누군가에 의해 양피지에 그 내용이 기록됩니다. 물론 그 이후에 아랍어 버전으로 다시 번역되기도 합니다만 그리스어 버전이나 아랍어 버전 모두 전체가 아닌 일부분만 남아 있습니다.
그런데 원본인 그리스어 버전은 300 여년이 지난 후 예루살렘의 한 승도승이 양피지를 재활용하는 바람에 사람들의 시야에서 사라지게 됩니다.
즉, 원래의 아르키메데스 스토마키온에 관한 기록을 긁어내서 지운 뒤 반으로 잘라 방향을 옆으로 돌려서 책을 만들고, 여기에 다른 철학자들의 저술 내용을 덧대어 기록하고, 그리스 정교회의 기도문을 적었습니다.
이것을 Archimedes Palimpsest 라고 합니다.

20세기에 이르러 이 덧댄 양피지 (Palimpsest) 책이 발견되는데 맨 아래에 기술되어 있는 것은 거의 보일 듯 말 듯 희미하게 남아 있을 뿐, 원래의 글 내용을 알아볼 수 없을 정도로 심하게 훼손된 상태였다고 합니다.

최근에 이 문서를 다양한 현대 과학의 힘을 빌어 맨 아래에 적혀 있는 아르키메데스의 저술 내용을 확인할 수 있었다고 합니다.

여기에는 아르키메데스가 현실 세계를 수학적으로 설명하기 위해 개발한 부체론 (浮體論, On Floating Bodies), 기계적 방법론 (The Method of Mechanical Theorems), 그리고 스토마키온 등이 포함되어 있다고 합니다.
사실상의 유일한 그리스어 판 기록이라고 할 수 있겠습니다.

스토마키온에 얽힌 과학
2006년 8월 2일 BBC 방송에서 스토마키온 발굴에 얽힌 과학적 이면을 상세히 소개했습니다.
그 내용을 간략하게 정리해 보겠습니다.

Archimedes Palimpsest 는 20세기에 이르러 고문서 위조범들이 그 표면에 금박을 입히고 종교적 그림을 칠해 놓은 상태였습니다. 이렇게 한 이유는 고문서의 가치를 더 높이려는 의도에서였다고 합니다. 

어찌되었든 우여곡절 끝에 금장이 입혀진 이 양피지를 어느 개인 소장가가 수십억원을 주고 구입하게 됩니다.
바로 아래 사진이 그것입니다.

(금장된 Palimpsest)(출처: http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/5235894.stm)

 

이후 다양한 광학 및 디지털 이미징 기술로 분석을 해 보았지만 맨 아래에 적혀 있는 기록은 그림과 얼룩들에 가려져 해독이 잘 되지 않은 상태였습니다.

그러던 중 스탠포드 싱크로트론 방사선 연구소 (The Stanford Synchrotron Radiation Lab) 의 Uwe Bergmann 박사 등 연구진이 비파괴 기술인 X선 형광분석 기술을 이용해 여러 겹의 다른 그림과 글씨 밑에 숨어 있는 원래의 기록들을 찾아냅니다.
800 여년만에 세상에 다시 태어난 것이지요.
이 기술은 지질학과 생물학 등 다양한 과학 연구 분야에 사용되는 방법으로서 과거에도 고문서 발굴에 자주 사용되어 왔으며, 최근에 그 정밀도가 매우 향상이 되었다고 합니다.

입자 가속기인 싱크로트론에서는 강력한 X선인 싱크로트론 광선이 발생하는데, 이 광선은 일반 의료용 X선에 비해 100만배나 강력한 X선을 비롯, 광범위한 전자장 스펙트럼을 커버할 수 있어 물질의 내부를 분자와 원자 수준에서 투시할 수 있다고 합니다.

특히나 이 기술은 아르키메데스의 연구 기록을 필사한 양피지에 묻어 있는 잉크에 철분이 들어 있어 매우 유용했으며 발광 패턴을 기록해 철분의 모든 이미지를 재구성할 수 있었다고 Uwe Bergmann 박사는 설명합니다.

작업이 진행된 볼티모어 소재 월터스 박물관 (The Walters Art Museum) 의 희귀본 담당 큐레이터이자 총괄 책임자인 윌 노엘 (Will Noel) 은 '마치 기원전 3세기로부터 팩스를 받은 것과 같은 기분' 이라고 감회를 밝히면서 '하나의 책에 3개의 고대 문서가 모여 있는 것은 전대미문의 기적' 이라고 흥분하며 말했다고 합니다

(덧대어 쓴 양피지 (Palimpsest) 원본)(출처: http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/5235894.stm)


이상의 내용을 원문 기사로 보시려면 BBC의 아래 사이트를 방문해 보시지요.
http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/5235894.stm

위 기사 이외에 다양한 관련 정보를 탐색하다 보니 2003년 12월 14일에 뉴욕타임즈에 나온 기사가 눈에 띄더군요.
위의 기술적 방법론을 적용해서 판독해 내기 이전 버전이라고 보시면 될 것 같습니다.
아래 사진이 그것입니다.

(출처: www.nytimes.com)


아래 사진은 위키피디어에서 가져온 것입니다.

(육안으로 본 Palimpsest)

 

(이미징 기술을 이용하여 나타난 원본 글)

 

스토마키온의 다른 이름들
참고로 스토마키온은 오스토마키온 (Ostomachion) 이라고도 불리며, 신테마키온 (Syntemachion), 신토마키온 (Syntomachion) 이라고도 불립니다.
또한 Loculus of Archimedes 또는 Loculus Archimedius 라고도 하는데, Loculus 는 라틴어로서 조그만 상자를 가리킨다고 합니다. 그래서 아르키메데스의 상자 (Archimedes' Box) 라고도 표현 한답니다.
일부 사람들은 스토마치온, 오스토마치온, 신테마치온, 신토마치온 이라고도 발음하더군요.
그러나 퍼즐러갱이 확인해본 결과 '치'가 아니라 '키'로 발음하는 것이 맞더군요.

에구.
쓰고 보니 재미있는 퍼즐 이야기가 아니라, 또 재미없는 어려운 이야기가 되어 버렸네요.
그래도 칠교놀이와 유사한 퍼즐들을 무척 즐기다가 좀더 어렵고 복잡한 퍼즐에 관심이 있던 분들이라면 그분들에게는 그래도 재미가 좀 있었을 것이라는 퍼즐러갱만의 생각에 빠져 봅니다.
그래도 여기까지 꾹 참고 읽어주신 여러분 감사합니다.

 


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Posted by 퍼즐러 갱

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