마방진 뒷 이야기 12: X 마방진

이번에는 X 마방진입니다.
마방진 중에서 그나마 매우 쉬운 측에 해당됩니다. 
X자 모양을 띄면서 가운데 하나의 숫자만 겹치기 때문에 계산도 쉽습니다.
아래 그림을 보면 쉽게 이해가 될 것입니다. 1에서 9까지의 숫자를 각 동그라미에 적어 두 방향 모두 합이 동일하게 만드는 것입니다. 

이 X 마방진은 경우의 수가 두가지 밖에 안되기 때문에 무지 쉽습니다.
여기서 중요한 부분은 당근 겹치는 부분의 숫자이겠지요. 이 숫자만 찾아내면 이 X 마방진은 쉽게 만들어 낼 수 있을 것입니다.

자 그렇다면 겹치는 부분의 숫자를 한번 찾아볼까요?

일단 겹치는 부분의 숫자를 X라 하겠습니다.
이 X가 1이라고 가정하면,
(1+2+3+4+5+6+7+8+9) + 1 = 46
46을 2로 나누면 23
결국 한변에 있는 숫자의 합은 23

1을 포함하여 23을 만들어 낼 수 있는 경우를 생각해보면,
(1, 2, 3, 8, 9 ), (1, 2, 4, 7, 9), (1, 2, 5, 6, 9), (1, 2, 5, 7, 8), (1, 3, 4, 6, 9), (1, 3, 4, 7, 8), (1, 3, 5, 6, 8), (1, 4, 5, 6, 7) 가 있습니다.  
이 중에서 1을 제외한 숫자들이 겹치지 않는 것을 뽑아 내면 (1, 2, 3, 8, 9)와 (1, 4, 5, 6, 7)이 있습니다.  

위 X 마방진 말고 또 여러개 있는데 여러분이 한번 찾아보실래요? 위에서 제시한 여러 순서쌍 중에서 1을 제외하고 서로 겹치는 숫자가 없는 것을 골라내면 됩니다요.

만일 X가 2라고 가정하면,
(1+2+3+4+5+6+7+8+9) + 2 = 47
47을 2로 나누면 23.5
그런데 한 변의 합이 자연수이므로 소수점이 나타나는 현상은 있을 수가 없습니다.
즉 X가 2인 경우에는 X 마방진이 성립하지 않는다는 말이 됩니다.

여기서 이것을 확장해서 생각해 보면 X가 짝수일 경우에는 X 마방진이 성립하지 않는다고 할 수 있습니다. 한 변의 합이 자연수가 아닌 숫자가 나올 수는 없는 노릇이기 때문이지요.

만일 X가 3이라고 가정하면,
(1+2+3+4+5+6+7+8+9) + 3 = 48
48을 2로 나누면 24
결국 한변에 있는 숫자의 합은 24

3을 포함하여 24를 만들어 낼 수 있는 경우를 생각해 보고 이중에서 3을 제외하고 서로 겹치는 숫자가 없는 것을 골라내면 됩니다요. 마찬가지 방법으로 X가 5인 경우와 7인 경우 그리고 9인 경우를 계산해보면 X 마방진이 성립하는 조합들을 찾아낼 수 있습니다.

그런데 재미있는 사실은 이 X 마방진이 그 유명한 김홍도의 그림에도 나타난답니다. 바로 아래 그림인 씨름도에서 X 마방진이 나타납니다. 사람의 수를 한번 세어보시지요.
지금까지 무심코 지나쳤던 것 중의 하나일 것입니다.

 

각 방면에 있는 사람의 수가 12명이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

즉 위 씨름도를 숫자로 표시해 보면

8           5

      2

5           2

가 됩니다.

우연의 일치인지 아니면 이것을 염두에 두고 그린 것인지는 알 수 없는 노릇이나 참 신기할 뿐입니다. 김홍도의 씨름도를 보면서 이렇게도 해석해 볼 수 있다는 것이 재미있기만 합니다. 

여기서 잠깐! 퍼즐과는 관련없지만 퀴즈 하나 한번 내 보겠습니다.
위 김홍도 그림을 유심히 살펴보면 손가락 방향이 바뀐 사람이 있습니다. 누구일까요?^^

자신의 손바닥이 거꾸로 된 줄도 모를 정도로 흥겨운 씨름판에 정신이 팔려있는 상태, 몰입의 상태를 유희적으로 표현한 것이 아닐까 합니다.

아니면 김홍도 화백이 실수를 했을 수도 있구요.

지금 낸 퀴즈도 처음 들어보는 것이죠? 허허허.
퍼즐러 갱 퍼즐에 관심이 있다 보니 별의별 것을 다 알게 되었습니다그려.^^

 

*아래 화면은 퍼즐러갱이 개설한 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!