마방진 뒷 이야기 14: 라틴 마방진 (Latin Magic Square)

지금까지 소개한 마방진은 모두 숫자를 이용한 것이었습니다. 그런데 숫자가 아닌 것을 가지고서도 마방진을 만들 수 있습니다. 바로 라틴 방진 (Latin Square) 이 바로 그것입니다.

라틴 방진이란 일정한 방진에 기호가 가로 세로 딱 한번씩만 들어가도록 한 것입니다. 맨 처음에 레온하르트 오일러 (Leonhard Euler) 가 기호로 라틴 문자를 사용했기 때문에 스스로 라틴 방진이라는 표현을 붙였습니다.
그런데 꼭 기호나 문자일 필요는 없습니다.
숫자를 사용해도 됩니다.
다만 조건은 동일합니다.
즉 동일한 숫자가 가로 세로에 중복되어 나타나면 안된다는 것이지요.

그런데 이번 글의 제목은 라틴 방진 (Latin Square) 이 아니라 라틴 마방진 (Latin Magic Square) 이라고 정했습니다.
사실 라틴 마방진이란 표현은 학술적으로는 존재하지 않는 표현입니다.
그런데 왜 이렇게 제목을 정했을까요? 
퍼즐러 갱이 걍 심심풀이로 만들어 보았습니다.
대신 새로운 조건을 부여하면서 말이죠. 
가로 세로 뿐 아니라 대각선 까지도 문자가 딱 한번만 들어가는 라틴 방진을 라틴 마방진으로 정의하면서 말이죠.^^
외국 사이트를 뒤져 보니 학문적으로는 Self-Orthogonal Latin Square 라고 하더군요. 어느 사이트에서는 '라틴 대각선 방진 (Latin Diagonal Square)' 이라는 표현이 나오더군요. 그렇지만 펴즐러 갱 걍 라틴 마방진이라고 표현해 볼랍니다.

자 아래 사진을 한번 보시지요. 위키피디어에서 퍼온 사진입니다. 

캠브리지에 있는 Caius College 에 있는 스테인드 글래스 입니다.

위 사진에서 색칠되어 있는 부분이 바로 7차 라틴 방진이랍니다.
특별한 기호나 문자나 숫자 대신 색깔로 대신한 것이지요.
가로 세로에 동일한 색깔이 중복되어 나타나는 현상이 없습니다.
그렇기 때문에 위 사진도 라틴 방진에 해당되는 것입니다.

그런데 좀 아쉬움이 남습니다.
대각선 방향에서 파란색이 두번 나오는 현상이 발생하지요.
2% 부족입니다.
이왕이면 좀더 극적인 라틴 마방진의 형태를 띠면 더 좋았을 것 같다는 생각이 듭니다.
그래서 퍼즐러 갱이 나름 고민해서 위 사진을 약간 변형하여 아래와 같이 라틴 마방진을 만들어 보았습니다.
그렇다고 해서 퍼즐러 갱 시간이 남아도는 사람은 아닙니다요~~~~ 
그리고 사실 라틴 마방진 만드는 것이 그리 어려운 것도 아니구요.^^ 

위 라틴 마방진을 보면 일정한 패턴이 있다는 것을 발견할 수 있을 것입니다.
그 패턴이 보이시나요?
유심히 살펴보시기 바랍니다.

이제 그 일정한 패턴이 보이지요?
그렇습니다.
이 일정한 패턴이 있기에 퍼즐러 갱이 스테인드 글래스의 라틴 방진을 라틴 마방진으로 바꿀 수 있었던 것입니다.
퍼즐러 갱이 무슨 용가리 통뼈라고 어려운 것을 할 수 있겠습니까?
위에서 살짝 언급했듯이 만드는 것이 그리 어렵지 않은 이유는 다 이 패턴 때문입니다.

자 그렇다면 4차 라틴 마방진은 몇개가 있을까요?
편의상 각 칸에 들어갈 문자는 A, B, C, D 로 하겠습니다.

이를 위해서는 맨 위 행에 들어갈 수 있는 경우의 수를 구해 보아야 합니다.
맨 위 행의 맨 처음 열에 들어갈 수 있는 문자는 A, B, C, D 로 4가지가 있습니다.
만일 A를 선택한다면 두번째 칸에 들어갈 문자는 나머지 B, C, D 로 3가지가 있습니다.
두번째 칸에 B를 적는다면 세번째 칸에 들어갈 문자는 나머지 C와 D 2가지가 있습니다.
세번째 칸에 C를 기입한다면 마지막 네번째 칸에 들어갈 문자는 D 뿐으로서 딱 한가지 뿐입니다.
이렇게 하면 첫번째 행에 A, B, C, D를 적는 방법은
4*3*2*1 = 24 가지가 있습니다.

여기서는 편의상 아래와 같이 순서대로 A, B, C, D로 기입한다고 가정하겠습니다.  

이제는 위 그림에서 초록색으로 칠해져 있는 맨 아래 행의 첫번째 열을 생각해 봅시다.
이 칸에 들어갈 문자로는 무엇이 있을까요?
그렇습니다.
첫번째 열에 이미 A가 있고, 대각선 방향에 D가 이미 있으므로 이 칸에 들어갈 수 있는 문자는 B와 C 두가지입니다.

여기서는 편의상 아래와 같이 C를 기입해 보겠습니다. 

이제는 위 그림에서 초록색으로 칠해져 있는 맨 아래 행의 네번째 열을 생각해 봅시다.
이 칸에 들어갈 문자로는 무엇이 있을까요?
그렇습니다.
같은 행에 C, 대각선 방향에 A, 같은 열에 D 가 이미 있으므로 이 칸에 들어갈 문자는 B 뿐입니다.  

자 이제는 위 그림에서 초록색으로 칠해져 있는 세번째 행의 세번째 열을 생각해 봅시다.
이 칸에 들어갈 문자로는 무엇이 있을까요?
그렇습니다.
대각선 방향에 A와 B, 같은 열에 C 가 이미 있으므로 이 칸에 들어갈 문자는 D 뿐입니다 

자 이제는 위 그림에서 초록색으로 칠해져 있는 위에서 두번째 행의 두번째 열을 생각해 봅시다.
이 칸에 들어갈 문자로는 무엇이 있을까요?
그렇습니다.
대각선 방향에 A, B, D가 이미 있으므로 이 칸에 들어갈 문자는 C 뿐입니다. 

자 이제는 위 그림에서 초록색으로 칠해져 있는 위에서 세번째 행의 두번째 열을 생각해 봅시다.
이 칸에 들어갈 문자로는 무엇이 있을까요?
그렇습니다.
같은 행에 D, 같은 열에 B, C 가 이미 있으므로 이 칸에 들어갈 문자는 A 뿐입니다 

이런 방식으로 해서 나머지 칸을 채워 나가면 라틴 마방진이 형성됩니다. .
결과적으로 각 칸에 들어갈 수 있는 문자의 경우의 수를 표시해 보면 아래와 같이 됩니다. 

즉 4차 라틴 마방진을 만드는 방법은
4*3*2*2 =48 가지입니다.

자 그렇다면 3차 라틴 마방진은 몇개가 있을까요?
위에서 제시한 방법을 사용하여 여러분들이 스스로 한번 생각해 보기 바랍니다.

헷갈린다구요? 결과를 알고 싶다구요? 그럼 알려드리도록 하겠습니다. 그렇지만 항상 그렇듯이 먼저 스스로 생각해보는 습관 형성이 중요하다는 것을 다시한번 강조드리고 싶습니다. (그런데 이번 건은 사실 머 아주 어려운 것도 아닌데 무지 생색낸다고 생각하는 분도 계실 것을 생각하면 쪼메 쑥스럽기도 합니다. ^^)

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V

그렇습니다.
3차 라틴 마방진은 없습니다.

그 이유는 아래와 같습니다.

먼저 맨 위 행에 A, B, C를 기입했다고 가정하겠습니다.
그럼 두번째 행의 두번째 열인 한 가운데 칸에 들어갈 수 있는 문자는 무엇일까요?
대각선 방향에 이미 두개의 문자가 들어가 있고 같은 열에 다른 문자가 들어가 있어 이미 3개의 다른 문자가 모두 들어가 있는 상태입니다.
결국 한 가운데에 들어갈 수 있는 문자는 없게 됩니다.  
결국 3차 라틴 마방진은 존재하지 않는 것이지요.^^

아!
오해 마세요.
위키피디어를 참고해 보면 3차 라틴 방진은 12개, 4차 라틴 방진은 576개라고 나오는데, 퍼즐러 갱은 왜 3차 라틴 마방진은 없고, 4차 라틴 마방진은 48개라고 하는 걸까요?

그렇습니다. 라틴 방진과 라틴 마방진의 차이 때문입니다. 대각선에서 숫자가 겹치는 것을 허용한다면 위키피디어에서 제시하고 있는 갯수가 맞습니다요.

오늘도 해피 퍼즐링~~

 

*아래 화면은 퍼즐러갱이 개설한 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!