마방진 뒷 이야기 13: 다윗의 별 (Star of David) 마방진

다윗의 별은 유대 별, 다윗 왕의 방패, 솔로몬의 봉인이라고도 합니다.
정삼각형 두개를 서로 엇갈리게 포개놓은 별로서 꼭지점이 6개인 별입니다.

그런데 이 다윗의 별 모양을 기초로 해서 마방진을 만들 수도 있습니다.
엄밀한 의미에서는 Square 즉 정사각형이 아니기 때문에 방진이라는 표현을 붙일 수가 없기는 합니다만 그냥 편의상 다윗의 별 마방진이라고 부르겠습니다.
영어로는 매직 스타 (Magic Star) 라고 표현하더군요. 물론 여기서 말하는 매직 스타는 다윗의 별보다 넓은 의미의 별로서 꼭짓점이 6개인 다윗의 별부터, 꼭짓점이 7개, 8개인 별 등을 모두 아우르는 표현입니다.
다윗의 별 마방진만을 가리킬 때는 매직 헥사그램 (Magic Hexagram) 이라는 별도의 표현을 쓰기도 하더군요.

아래 그림에서와 같이 동그라미 안에 12 개의 숫자를 적어서 각 변에 있는 4개 숫자의 합이 모두 같게 되도록 하는 것이 다윗의 별 마방진입니다.

자 그럼 우리 모두 다윗의 별 마방진을 한번 만들어볼까요?

방법은 이미 포스팅한 X 마방진이나 삼각형 마방진이나 테두리 마방진을 만드는 방법과 유사합니다.
다만 훨씬 더 복잡할 뿐입니다.
먼저 위 그림에서 중복 계산되는 곳을 찾아야 합니다.
순간적으로는 B, C, E, F, H, I 가 두번 계산되는 것으로 보일 것입니다.
이것은 선분으로서 변을 표시해 놓았기 때문에 순간적인 착각을 일으키는 것입니다.
잘 살펴보시면 A, J, D, K, G, L 도 두번씩 계산이 되는 것을 알 수 있습니다.
즉 모든 숫자가 두번씩 중복 계산됩니다.

(1) 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 78
(2) 78*2 = 156 (중복 계산되므로)
(3) 156/6 = 26 (변의 갯수가 6개이므로)

자 이제는 한 변에 있는 네개의 숫자 합이 26이 되는 경우의 순서쌍을 구하면 됩니다.
이 과정에서 다소 단순 노가다가 필요합니다.
그 순서쌍을 구해보면,
(1, 2, 11, 12), (1, 2, 12, 11), (1, 3, 10, 12), (1, 3, 12, 10), (1, 4, 9, 12), (1, 4, 10, 11), (1, 4, 11, 10), (1, 4, 12, 9), (1, 5, 8, 12), (1, 5, 9, 11), (1, 5, 11, 9), (1, 5, 12, 8), (1, 6, 7, 12), (1, 6, 8, 11), (1, 6, 9, 10), (1, 6, 10, 9), (1, 6, 11, 8), (1, 6, 12, 7), (1, 7, 6, 12), (1, 7, 8, 10), (1, 7, 10, 8), ......(12, 11, 1, 2), (12, 11, 2, 1)

위에서 첫번째 두 쌍인 (1, 2, 11, 12)와 (1, 2, 12, 11), 그리고 마지막 두 쌍인 (12, 11, 1, 2), (12, 11, 2, 1)은 모두 다른 것으로 간주를 했습니다. 왜냐하면 삼각형 마방진에서는 서로 위치만 바꿀 경우 동일한 것으로 간주했지만 다윗의 별 마방진에서는 순서를 바꾸면 전혀 다른 조합이 되기 때문입니다. 

그리고는 이 모든 조합에서 다윗의 별을 형성할 수 있는 조건 등을 따져 가며 적절히 배치해 보면 찾을 수 있답니다.
그런데 이 방법은 앞에서도 말했듯이 주먹구구식이며 완전 단순 노가다 작업이 됩니다.

매직 헥사그램 예시를 보여 드리면 아래와 같습니다.

참고로 우리가 일반적으로 그리는 별인 꼭지점이 5개인 별의 마방진은 존재하지 않는다고 하는군요.
왜그런지 설명하는 영어 자료가 있기는 한데 퍼즐러 갱 영어가 약해서시리, 이해를 잘 못하겠더군요. ㅜㅜ
아니 영어가 약하다기 보다는 설명하는 내용이 너무 수학적이다 보니 잘 알아듣지를 못하는 것이겠지요. ㅜㅜ

그리고 이 다윗의 별 마방진 (매직 스타, 매직 헥사그램) 은 현재까지 80개가 존재한다고 밝혀졌습니다.
최초로 이 매직 스타 해법을 찾은 사람은 바로 그 유명한 헨리 듀드니 (Henry E. Dudeney) 입니다.
1926년에 헨리 듀드니는 그의 책을 통해 총 74개의 솔루션이 있다고 발표합니다. 
그리고 그게 아마도 전부일 것이라고 그는 생각했습니다.

그러나 마틴 가드너 (Martin Gardner) 는 1965년판 아티클에 대한 부록을 1975년에 발간하면서 E. J. Ulrlich와 A. Domergue가 80개의 해법을 찾아냈다고 주장합니다. 물론 이 주장을 하면서 그들이 80개의 해법을 언제 발견했는지에 대해서는 밝히지 않았습니다. 
추측컨대 1965년과 1975년 사이일 것입니다.
왜냐하면 1965년판 아티클에는 헨리 듀드니의 74개 솔루션만 소개했고,
1975년판 부록에서 80개의 솔루션을 소개했기 때문이지요.

그런데 또다른 연구 결과에 의하면 Laurance M. Leeds 가 1934년에 이미 80개의 솔루션을 발견했다는 주장이 있습니다. 당시에 Laurance M. Leeds는 미국의 뉴저지 주에 있는 Rutgers 대학교의 공과대 대학원생이었습니다.
참고로 Laurance M. Leeds 는 사후에 모교의 명예의 전당에 이름을 올렸다고 합니다.
(이 매직 헥사그램 때문은 아니구요. 그는 텔레비전과 라디오 관련해서 많은 업적을 남겼다고 하는군요.)

그런데 이 다윗의 별 마방진은 매우 특이한 현상들을 보이고 있답니다.
대표적인 현상들을 열거하면 5가지 정도가 있습니다.

1. 먼저 바깥 부분에 있는 조그만 삼각형을 형성하는 세개 숫자의 합은 반대편 조그만 삼각형의 숫자의 합과 항상 같답니다.
위에서 제시한 다윗의 별 마방진에서 한번 확인해 보시지요.
참 신기하기 그지 없습니다.

2. 두개의 큰 삼각형의 세개의 꼭지점 숫자의 합은 항상 같습니다. 
마찬가지로 위에서 제시한 다윗의 별 마방진에서 한번 확인해 보시지요.
신기하기 그지 없습니다.

3. 다윗의 별 모양에는 모두 세개의 다이아몬드가 숨겨져 있습니다. 그런데 이 다이아몬드의 4개 꼭지점의 숫자를 합해보면 모두 26이 된답니다.
신기하기 그지 없습니다.

연두색으로 표시되어 있는 칸의 숫자를 위에서 제시한 마방진이나 아래에서 제시하는 마방진에서 찾아 한번 더해 보세요. 모두 같답니다.

4. 여섯개의 꼭지점에 있는 숫자의 합은 항상 짝수랍니다.

5. 여섯개의 꼭지점이 모두 짝수이거나 또는 모두 홀수인 경우는 없습니다.

일부 다윗의 별 마방진의 경우에는 다음과 같은 특이한 것들이 있습니다.
즉, 여기서부터 소개하는 것은 모든 다윗의 별 마방진에 적용되는 것은 아닙니다.
물론 위에서 열거한 다섯가지 특징은 모두 그대로 보유하고 있습니다.

1. 아래의 매직 스타는 6개의 꼭지점에 있는 숫자의 합도 26이 되는 경우입니다.
이런 현상을 보이는 매직 스타는 아래처럼 모두 6개가 있습니다.

2. 아래의 매직 스타는 계곡에 있는 6개의 숫자의 합도 26이 되는 경우입니다.
즉, 가운데에 있는 정육각형의 꼭지점에 있는 숫자들의 합이 26이 되는 경우입니다.
이런 현상을 보이는 매직 스타는 아래처럼 모두 6개가 있습니다.

마지막으로 아래의 다윗의 별을 한번 보시지요.
이 다윗의 별은 지금까지 소개한 것과는 달리 바깥쪽에 있는 조그만 삼각형의 세개 꼭지점 숫자 합이 모두 17로 동일한 현상을 보입니다.
그런데 유심히 살펴보면 알 수 있지만 이 다윗의 별은 매직 헥사그램이 아니랍니다.
각 변에 있는 네개 숫자의 합이 모두 동일하게 26이 되지 못하고 있습니다.
그저 좀 특이하다 싶어 소개하는 것이니 오해 마시기 바랍니다~~~~
이 다윗의 별은 Harry Langman 박사의 1962년 판 'Play Mathematics'에 소개된 것이라고 합니다.

이상 퍼즐러 갱이 정리해 본 다윗의 별 마방진이었습니다.

 

*아래 화면은 퍼즐러갱이 개설한 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!