마방진 뒷 이야기 11: 테두리 마방진 (Perimeter Magic Squares)

가운데가 비어있는 마방진입니다.
이것도 나름 재미있는 구석이 있습니다.
예를 들어 3*3 방진이 있을 경우 가운데 셀만 비워놓고 나머지 8개의 칸만 숫자로 채워서 가로 세로의 합이 모두 동일하게 되도록 하는 것이 3차 테두리 마방진입니다.
이런 식으로 이해하면 4차 테두리 마방진, 5차 테두리 마방진, 등등등 확장이 가능하겠지요.

이 테두리 마방진 관련해서 재미있는 이야기가 있습니다.
어느 마녀가 32명의 선량한 사람들을 잡아다가 지하 감옥에 가둡니다. 
이 감옥은 위에서 말한 3*3 방진에서 한 가운데 칸만 없는 8개의 감방으로 구성되어 있습니다.
그런데 그 마녀는 10 이상의 수는 셀 수가 없어서 감독 편의상 각 방에 적절히 사람들을 집어넣고 가로 세로 다 세어 보아도 동일한 숫자가 되도록 합니다.
어느 방향으로 세어도 모두 동일하게 9가 되도록 사람들을 분산 배치한 것입니다.

문제 1) 자 이러한 상황에서 마녀는 어떻게 32명의 사람들을 각 방에 분산 배치해서 가로 세로 어느 방향에서 세어 봐도 모두 9명이 되도록 했을까요? 물론 각 방에 들어 가 있는 사람들의 수가 같을 수도 있습니다.  

한번 궁리해 보기 바랍니다. 정답은 맨 아랫 부분에서 제시하겠습니다. 

그런데 잡혀온 선량한 사람중에는 매우 똑똑한 사람이 있었는데 마녀가 없는 틈을 타서 4명을 먼저 탈출시키고 각 방에 있는 사람의 숫자를 조정합니다. 그리하여 마녀가 감옥으로 들어와 가로 세로를 계산해 보아도 여전히 9명이 되도록 하여 마녀를 속입니다.

문제 2) 어떻게 사람들을 배치하여 각각 가로 세로 합이 9명이 되도록 하였을까요? 물론 이 때의 전체 사람의 숫자는 28명입니다.

다시 마녀가 없는 틈을 타서 감옥에 잡혀 있는 사람 중 4명이 다시 탈출하게 됩니다. 그리고 여전히 가로에서 세어보나 세로로 세어보나 모두 9명이 되도록 유지합니다. 그리하여 마녀를 속일 수 있습니다.

문제 3) 어떻게 사람들을 배치하여 각각 가로 세로 합이 9명이 되도록 하였을까요? 물론 이 때의 전체 사람의 숫자는 24명입니다.

위에서 제시한 이야기는 테두리 마방진 관련해서 매우 유명한 이야기입니다. 자 이제 테두리 마방진이 무엇인지 굳이 자세히 설명하지 않아도 무엇인지 알 수 있겠지요? 

그런데 위에서 예로 든 이야기는 각 칸에 동일한 숫자가 겹쳐 들어가는 케이스입니다. (그렇다고 맨 아래에 제시한 해답을 먼저 보지는 마세요~~~~^^)

정식 테두리 마방진은 각 칸에 들어가는 숫자가 겹치지 않게 하면서 그것도 연이은 숫자로 채워야 한답니다. 그래야 정식 표준 테두리 마방진이 되지요.

자 이제 본격적으로 3차 테두리 마방진을 만들어 보도록 하겠습니다.
그런데 이 3차 테두리 마방진을 만드는 방식은 지난번에 '마방진 뒷 이야기 8: 삼각형 마방진 (Perimeter Magic Triangles)' 글에서 포스팅한 삼각형 마방진을 만드는 방법과 기본적으로는 동일한 방법과 절차를 거친답니다.

즉, 총 8칸이므로 들어가야 하는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 이며 이 숫자들의 합은 36 입니다.
그런데 각 테두리의 합이 같아야 하므로 두번씩 중복 계산되는 것이 있습니다. 바로 A, B, C, D 입니다.
만일 각 변의 합인 매직 상수가 11 이라고 가정해 보겠습니다.
그리고 A, B, C, D 의 값이 가장 작은 수인 1, 2, 3, 4 라고 가정해 보면, 
(1) 4*11 = 44
(2) 36 + (A+B+C+D)의 최소값 = 36 + 10 = 46
(1) ＜ (2)

이것은 (A+B+C+D)의 최소값을 선택하더라도 11 이하의 매직 상수가 될 수는 없다는 것을 의미합니다.
그래서 결론은 매직 상수가 11 인 경우는 3차 테두리 마방진 성립 불가.

이제 각 변의 합인 매직 상수가 12 라고 가정해 보겠습니다.
(1) 4*12 = 48
(2) 36 + (A+B+C+D)
(1) = (2)  식을 만족시키는 (A+B+C+D) 값은 12
12가 나올 수 있는 조합은 (1, 2, 3, 6), (1, 2, 4, 5) 뿐입니다.

먼저 (1, 2, 3, 6)의 경우를 가정해 보고 A, B, C, D 에 기입하고 나서 각 변의 중앙에 들어갈 숫자를 계산해 보면 아래와 같이 3차 테두리 마방진이 성립되지 않는 것 같습니다. 즉 들어가서는 안될 9와 중복 기입되는 3이 있기 때문이죠. 

그런데 A, B, C, D 에 기입하는 숫자의 순서를 아래와 같이 바꾸어 보면 완벽한 3차 테두리 마방진이 성립된답니다.

그리고 (1, 2, 4, 5) 인 경우를 가정해 보고 A, B, C, D에 기입하고 나서 각 변의 중앙에 들어갈 숫자를 계산해 보면 아래와 같이 1과 2 사이에 들어가서는 안될 9라는 숫자가 나오거나, 중복으로 기입되는 숫자들이 나옵니다. 
1, 2, 4, 5 를 아래 그림처럼 어느 방법으로 배치해 보아도 계속 이런 현상이 발생합니다.
따라서 3차 테두리 마방진 형성 실패.

이런 식으로 매직 상수가 13인 경우, 14인 경우도 계산해 보면 된답니다.

그렇다면 매직 상수는 얼마까지 가능할까요? 지난 삼각형 마방진때 처럼 중복 계산되는 A, B, C, D 에 가장 큰 수를 집어 넣고 계산한 값보다 더 큰 값이 나오는 매직 상수는 불가능하겠지요. 즉,

4X > 36 + (A+B+C+D)의 최대값
4X > 36 + (5+6+7+8)
4X > 62
X > 15.5

즉 매직 상수인 X값이 15.5 이상이 되면 3차 테두리 마방진은 형성이 불가능합니다.
결과적으로는 매직 상수값이 15인 경우까지 3차 테두리 마방진이 형성 가능합니다.

자 이제는 4차 테두리 마방진을 한번 만들어 보겠습니다. 3차 테두리 마방진처럼 동일한 과정을 거치면 최소 매직 상수값과 최대 매직 상수값을 계산할 수 있습니다.

매직 상수값을 X라 하고, A, B, C, D 에 들어갈 최소 숫자인 1, 2, 3, 4 를 가정하면
4*X < 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 + (A+B+C+D)의 최소값
4*X < 78 + 10
4*X < 88 
X < 22
즉, 22보다 작은 수인 21 이하의 매직 상수값을 가지는 4차 테두리 마방진은 형성 불가. 결국 22 이상의 매직 상수값을 가지는 4차 테두리 마방진만 형성 가능

마찬가지로 매직 상수값을 X라 하고, A, B, C, D 에 들어갈 최대 숫자인 9, 10, 11, 12 를 가정하면
4*X > 78 + (A+B+C+D)의 최대값
4*X > 120
X > 30

즉 이론상으로는 매직 상수값이 31 이상인 것은 4차 테두리 마방진 형성 불가. 결국 30 까지의 매직 상수값을 가지는 4차 테두리 마방진만 형성 가능.

마방진 관련 서적을 참고하다 보니 상황에 따라서는 3*4 테두리 마방진을 계산하는 과정을 설명하고 있더군요. 물론 매직 상수값도 미리 알려주고 그 매직 상수값을 낼 수 있는 테두리 방진을 만들라는 것이지요.
그런데 그것이 4*4의 4차 테두리 마방진이든, 3*4의 테두리 마방진이든 위에서 제시한 기본적 원리를 적용하면 모두 쉽게 풀 수 있답니다.

참고로 테두리 마방진 관련한 자료가 있어 이를 요약해 봅니다.

구분	3차	4차	5차	6차	7차	8차
매직상수 최소값	12	22	37	55	78	104
매직상수 최대값	15	30	48	71	97	128
칸 수	8	12	16	20	24	28
해법 수	6	146 (?)	?	?	?	?

위 표를 보시면 3차 테두리 마방진에는 6개의 해법이 존재합니다. 그리고 4차 테두리 마방진 이상부터는 몇개의 해법이 존재하는지 아직 밝혀지지 않은 상태입니다. 이것을 계산하기 위해서는 치밀한 알고리듬과 컴퓨터 프로그래밍 기술이 필요할 것 같습니다.

아직 밝혀지지 않은 분야에 대한 도전 의식이 있는 수학자나 컴퓨터 프로그래머 분이 계신다면 한번 계산해 보는 것도 재미있을 것 같습니다. 수학계에 이름이 길이 남을 업적을 쌓는 것이 되니까요.

4차 테두리 마방진에는 그저 146 가지 정도의 해법이 있을 것이라고 추정할 뿐입니다. 논리적으로 검증은 되지 않은 상태라고 하는군요.

가끔 테두리 마방진 관련해서 학생들에게 숙제를 내는 학교가 있더군요. 그런 학생들을 위해서 3차 테두리 마방진 6개 전부와 4차, 5차, 6차, 7차 테두리 마방진 일부를 소개합니다.  

 

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문제 1의 해답:

 

문제 2의 해답:

문제 3의 해답:

에고~~~
오늘도 퍼즐러 갱 머리 뽀개지고 있습니다.
그러나 왠지 홀가분하다는 느낌이군요.

즐건 한주 시작하세요~~
오늘도 해피 퍼즐링~~

 

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