마방진 뒷 이야기 8: 삼각형 마방진 (Perimeter Magic Triangles)

이번 마방진은 삼각형 마방진입니다.
사실은 엄밀히 말하면 마방진은 아닙니다. 왜냐하면 마방진의 방진은 정사각형을 의미하기 때문이지요.
그래서 영어로는 Perimeter Magic Triangle 이라고 합니다. 영어에서는 매직 스퀘어라는 표현 대신 매직 트라이앵글이라는 표현을 쓰고 있는 것입니다. 그리고 안쪽에는 숫자를 써 넣지 않고 주변 테두리에만 숫자를 기입해서 만들기 때문에 Perimeter 라는 표현을 쓴 것이구요.

그래서 삼각형 마방진을 좀더 정확히 표현해 본다면 '테두리 마삼각형진'이 될 것입니다. 그러나 우리나라에서는 이렇게는 잘 쓰지 않기 때문에 편의상 삼각형 마방진이라고 표현하겠습니다.

먼저 정삼각형의 한 변에 세개의 숫자가 있는 삼각형 마방진을 이야기해보겠습니다.

이 삼각형 마방진에는 총 6개의 숫자가 들어갑니다.
그리고 그 숫자의 합은 1+2+3+4+5+6 = 21 입니다.
그런데 A, B, C는 두번씩 중복해서 계산이 됩니다. 
따라서 삼각형 마방진을 만들기 위해서는 중복계산되는 각 꼭지점에 있는 3개의 숫자의 합을 먼저 알아내야 합니다.

먼저 A, B, C 3개의 숫자의 합이 6 이라고 가정해 보겠습니다. 이 가정은 6개의 숫자 중에서 가장 작은 값을 보이는 것을 잠정적으로 선택한 것입니다.

그리고 각 변의 합인 매직 상수가 6 인 경우를 생각해 보겠습니다. 
매직 상수는 3군데에서 나옵니다. 이 매직 상수가 3번 계산되므로 3*6 = 18 이 됩니다. 
이 18 이란 숫자는 전체 숫자의 합 21에다 두번씩 중복 계산되는 A, B, C를 합한 수와 같아야 합니다.
그런데 18은 21보다 작습니다.
3*매직상수 ≠ 21 + (A+B+C)
18 ≠ 27
그러므로 이 경우에는 삼각형 마방진이 형성될 수 없습니다.

다음으로는 각 변의 합인 매직 상수가 7 인 경우입니다.
3*7 =21
21 ≠ 21 + (A+B+C)
21 ≠ 27
따라서 이 경우에도 등식이 성립하지 않습니다.
결과적으로 매직 상수가 7인 삼각형 마방진은 성립 불가.

다음으로는 각 변의 합인 매직 상수가 8 인 경우입니다.
3*8 = 24
이 24 라는 숫자는 모든 수의 합인 21보다 큽니다. 왠지 등식이 성립할 것 같습니다.
그러나 24 = 21 + (A+B+C) 를 성립시켜 주는 A, B, C 는 없습니다.
왜냐하면 A, B, C를 가장 작은 수인 1, 2, 3 이라고 가정해도
24 ≠ 21 + (1+2+3)
24 ≠ 27 이 되기 때문입니다.
결국 매직 상수가 8인 삼각형 마방진은 성립 불가.

결국 두번씩 중복 계산되는 숫자인 A, B, C 를 가장 작은 수인 6으로 선택할 경우, 각 변의 합인 매직 상수는 최소 9 가 되어야 합니다.
이 경우에는
3*9 = 27
27 = 21 + (A+B+C)
27 = 27
등식이 정확히 성립합니다.

그렇다면 이제 삼각형의 꼭지점 A, B, C에 1, 2, 3을 기입하고 나서, 각 변의 가운데에 있는 숫자 3개를 기입하면 됩니다. 물론 각 변의 합이 9가 유지되도록 하면서 말이죠.
그렇게 하면 바로 아래와 같이 됩니다.
매직 상수가 9이면서 꼭지점이 1, 2, 3 인 삼각형 마방진은 이 세상에 아래와 같은 딱 하나만 존재하게 됩니다. 물론 회전이나 대칭을 한 것은 동일한 것으로 가정한 것입니다. 

자 이제는 각 변의 합인 매직 상수가 10 인 경우를 생각해보겠습니다.
3*10 =30
30 = 21 + (A+B+C)
(A+B+C) = 9
합이 9 가 되는 경우의 수를 구해보면, (1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4) 의 경우가 나옵니다.

먼저 (1, 2, 6)을 채택하여 각 꼭지점 A, B, C 에 1, 2, 6 을 기입하고 나서 각 변의 합인 매직 상수가 10 이 되도록 각 변 위의 숫자를 적어 보면 2와 6 사이에는 2 를 적어야 합니다. 그리고 1과 2 사이에는 7 을 적어야 10 이 됩니다. 중복된 2의 숫자가 나오고, 6 을 넘어서는 7 이라는 숫자를 기입해야 하므로 꼭짓점 수인 (1, 2, 6)은 실격.

자 이제는 꼭짓점에 (1, 3, 5)를 채택하여 각 꼭지점 A, B, C 에 1, 3, 5 를 기입하고 나서 각 변의 합인 매직 상수가 10이 되도록 각 변 위의 숫자를 적어 보면 아래와 같은 삼각형 마방진이 형성이 되는 군요.

자 이제는 꼭지점에 (2, 3, 4)를 채택하여 각 꼭지점 A, B, C 에 2, 3, 4 를 기입하고 나서 각 변의 합인 매직 상수가 10이 되도록 각 변 위의 숫자를 적어 보면 3과 4 사이에 3 을 적어야 합니다. 그리고 2와 4 사이에 4 를 적어야 10 이 됩니다. 중복된 숫자 3 과 4 가 나오기 때문에 역시 실격.

결과적으로 각 변의 합인 매직 상수가 10 이 되는 경우는 딱 한가지만 존재하는군요.

이런 식으로 각 변의 합인 매직 상수를 늘려가면서 다른 삼각형 마방진을 만들어 낼 수 있습니다. 위의 요령을 그대로 따라하면 그리 어렵지 않으니 여러분이 한번 풀어보시지요.

그렇다면 각 변의 합인 매직 상수가 얼마일때까지 삼각형 마방진이 성립 가능할 까요?
한번 생각해 보기 바랍니다.
그렇습니다.
두번씩 중복계산되는 A, B, C 에 가장 큰 수인 4, 5, 6 을 기입한다고 가정하면, 
21+(4+5+6) = 36
36/3 = 12
즉 각 변의 합인 매직 상수가 12 인 경우까지만 삼각형 마방진이 성립 가능합니다.

만일 매직 상수가 13 이라고 가정하면
3*13 = 39
39 ＞21+[(A+B+C)의 최대값]
39 ＞36
결국 매직 상수가 13 일 경우에는 삼각형 마방진 성립 불가.

결론적으로 요약하면 한변에 3개의 숫자가 있는 삼각형 마방진의 경우는 총 4가지가 있습니다.
매직 상수가 9, 10, 11, 12 이면서 각각의 경우에 딱 하나씩의 삼각형 마방진만 존재합니다.

위에서 여러분이 한번 풀어보라고 했지만 친절한 퍼즐러 갱 나머지 두 개의 삼각형 마방진을 보여드리지요.

왼쪽 마방진은 매직 상수가 11, 오른쪽 마방진은 매직 상수가 12 인 삼각형 마방진입니다.

자 이제는 삼각형의 각 변에 숫자가 3개가 아니라 4개가 있는 경우의 삼각형 마방진입니다.
바로 아래와 같은 모습이 되겠지요.
이런 마방진을 푸는 것도 사실은 위의 기본적 흐름을 그대로 유지하면서 풀 수 있답니다.

먼저 A, B, C 3개의 숫자의 합이 6 이라고 가정해 보겠습니다. 이 가정은 9 개의 숫자 중에서 가장 작은 값을 보이는 것을 잠정적으로 선택한 것입니다.

그리고 각 변의 합인 매직 상수가 16 인 경우를 생각해 보겠습니다.
(1) 3*16 = 48
(2) 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45
(3) 45 + (A+B+C) = 51
결국 (1) ≠ (3)
따라서 삼각형 마방진 성립 불가.

다음으로는 각 변의 합인 매직 상수가 17 인 경우입니다.
(1) 3*17 = 51
(1) = (3)

이 상태에서 각 변의 합이 17 이 되도록 하는 숫자 두개를 찾으면 됩니다.
먼저 1과 2 사이에 들어갈 숫자의 합은 14(=17-1-2) 이어야 하고, 그 경우의 수로는 (4, 10), (5, 9), (6, 8) 이 있습니다.
2와 3 사이에 들어갈 숫자의 합은 12(=17 -2-3) 이어야 하고, 그 경우의 수로는 (4, 8), (5, 7) 이 있습니다.
1과 3 사이에 들어갈 숫자의 합은 13(=17=1=3) 이어야 하고, 그 경우의 수로는 (4, 9), (5, 8), (6, 7) 이 있습니다.

이 각각의 경우를 염두에 두고 숫자가 겹치지 않게 써넣으려면 1과 2 사이에는 (5, 9), 2와 3 사이에는 (4, 8), 1과 3 사이에는 (6, 7) 을 선택해서 기입하면 됩니다. 

그리고 또 한가지 경우가 있는데 위에서 제시한 순서쌍 조합 중에서 여러분이 한번 찾아보시기 바랍니다.^^

자 이제는 매직상수가  18 이 되는 경우를 생각해 보도록 하겠습니다.
3*18 = 54
45+ (A+B+C) =54
(A+B+C) = 9
합이 9인 조합을 만들어 보면 (1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4) 가 있습니다.

먼저 (1, 2, 6) 인 경우를 상정해 보면,
2와 6 사이에 들어갈 숫자는 합이 10 이어야 하므로 (1, 9), (3, 7) 이 있습니다.
1과 6 사이에 들어갈 숫자는 합이 11 이어야 하므로 (3, 8), (4, 7) 이 있습니다.
1과 2 사이에 들어갈 숫자는 합이 15 이어야 하므로 (7, 8) 이 있습니다. 
그런데 위의 순서쌍 조합 가운데에서 서로 숫자가 겹치지 않도록 하는 조합을 찾을 수는 없습니다.
결과적으로 매직 상수가 18 이 되는 경우의 삼각형 마방진은 성립 불가.

이제는 각 변의 합인 매직 상수가 19 인 경우를 생각해 보도록 하겠습니다.
3*19 = 57
45+ (A+B+C) =57
(A+B+C) = 12
합이 12 인 조합을 만들어 보면 (1, 2, 9), (1, 3, 8), (1, 4, 7), (1, 5, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (3, 4, 5) 가 있습니다.

먼저 (1, 2, 9)인 경우를 상정해 보면,
1과 2 사이에 들어갈 숫자는 합이 16 이어야 하므로 (7, 9) 외에는 없습니다만 이미 9가 중복됩니다. 
1과 9 사이에 들어갈 숫자는 합이 9 이어야 하므로 (3, 6), (4, 5)이 있습니다.
2와 9 사이에 들어갈 숫자는 합이 8 이어야 하므로 (3, 5)가 있습니다.
결국 꼭지점이 1, 2, 9 일 경우 이세상에 삼각형 마방진은 존재하지 않게 됩니다.

이런 식으로 쭉 계산해 나가다 보면 (1, 4, 7) 조합에서 삼각형 마방진이 형성되는 것을 찾아낼 수 있습니다. 그리고 그 삼각형 마방진은 아래와 같습니다.

 

그럼 각 매직상수가 얼마일때까지 삼각형 마방진이 가능할까요?
정답을 미리 말씀드리면 23 이 매직 상수의 최대값이랍니다

A, B, C에 들어갈 최대 숫자는 7, 8, 9 이고 이것이 중복 계산되므로
45 + (A+B+C) = 45 + (7+8+9) = 69
69/3 = 23

간단하게 증명이 되지요?

만일 매직상수가 24 가 되는 경우라고 하면
3*24 =72
72 ＞45 + [(A+B+C)의 최대값]
72 ＞69
모든 수의 합과 중복 계산되는 수의 최대값을 더해도 72와 동일한 숫자는 없게 됩니다.
따라서 삼각형 마방진 성립 불가.

결론적으로 요약해보면 한변에 4개의 숫자가 있는 삼각형 마방진의 경우는 매직 상수가 17, 19, 20, 21, 23 인 경우가 있으며,
17인 경우에는 2개,
19인 경우에는 4개,
20인 경우에는 6개,
21인 경우에는 4개,
23인 경우에는 2개, 이렇게 해서 총 18개가 있답니다.

물론 대칭이거나 회전시킨 경우는 동일한 것으로 간주한 것입니다. 그리고 한 변 위에서 가운데 있는 숫자의 순서만 바꾼 것도 하나로 친 것입니다. 

(혹시 위의 다양한 삼각형 마방진의 구체적인 숫자를 원하시는 분 있으면 메일 보내주시지요. 그러면 친절한 퍼즐러 갱이 알려드리도록 하겠습니다~~~~)

이중에서 특이한 삼각형 마방진 하나를 소개하면 아래의 마방진입니다.

왼쪽의 마방진은 정식 삼각형 마방진으로서 매직 상수가 20 입니다. 그리고 이 삼각형 마방진의 모든 수를 거듭 제곱해본 것이 우측의 삼각형 마방진입니다. 여전히 삼각형 마방진이 유지됨을 알 수 있습니다. 그리고 이 때의 매직 상수는 126 이 되는군요.
이러한 현상은 David Collison 이라는 사람이 발견했다고 하는군요.

에궁.
더 쓰고 싶은 것들이 있으나 지치내요.
파워포인트로 그리고 그것을 다시 그림 파일로 바꾸는 작업이 은근 노가다네요.^^

암튼 참 묘한 마방진입니다.

 

*아래 화면은 퍼즐러갱이 개설한 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!