마방진 뒷 이야기 7: 반마방진 (Anti-Magic Square)

반마방진이란 것도 있습니다. 영어로는 Anti-Magic Square 라고 하지요.
반마방진은 매직 스퀘어와는 달리 가로 세로 대각선 등에서 각 숫자를 합했을 때 모두 달라야 합니다. 그것도 연속된 숫자로 말이죠.
예를 들면 4*4의 4차 마방진의 경우라고 하면, 가로 세로 대각선의 합이 모두 다르면서 이 10 개의 숫자가 모두 연속된 값을 가져야 반 마방진 (Anti-Magic Square) 이 됩니다.
통상의 마방진은 모두 동일한 결과값이 나타나야 하지만 반마방진은 이와 반대로 모두 달라야 한다는 것이지요.
그래서 일명 '못갖춘 마방진' 이라고도 합니다.

그런데 퍼즐러 갱이 국내의 인터넷이나 책 등을 참고해 본 결과 반 마방진의 개념을 정확히 설명하지 못하고 있는 것을 발견했습니다. 반마방진을 그저 가로 세로 대각선의 합이 다른 방진이라고 설명하고 있었던 것이죠.
엄밀히 말하면 그저 가로 세로 대각선의 합이 다른 방진은 특별히 '이종 마방진 (Heterosquare)' 이라고 부른답니다.
영어 표현을 그대로 우리나라 말로 옮겨보면 '이종 방진' 이 됩니다만 편의상 '이종 마방진' 이라고 표현하겠습니다.

반마방진과 이종 마방진의 예를 들어보겠습니다.

왼쪽은 반 마방진이고 오른쪽은 헤테로 마방진입니다. 
왼쪽의 반 마방진은 가로 세로 대각선의 합계가 29에서 38까지 연이은 숫자로 나타납니다.
반면에 오른쪽의 이종 마방진은 가로 세로 대각선의 합계가 그저 다를 뿐이며 그 숫자가 연번으로 나오지 않습니다.
이제 반 마방진과 이종 마방진에 대해서는 명확히 구분할 수 있겠지요? 
결국 반 마방진은 이종 마방진의 부분 집합이 되는 것이지요.

그런데 이 반마방진을 만드는 것이 쉽지가 않습니다. 이종 마방진보다 훨씬 어렵습니다. 가로 세로 대각선의 합이 연속된 숫자가 나와야 한다는 조건이 추가되어 있기 때문이지요.
그리고 이 반마방진을 만드는 일반적인 방법은 아직까지 발견되지 않았다고 합니다. 반마방진을 만들 수 있는 보편적인 방법을 개발한다면 수학계에 길이 남을 연구 업적이 될 것입니다.

그리고 3*3의 3차 마방진에서는 반마방진을 만들 수가 없다고 합니다. 물론 이종 마방진은 만들 수 있구요. 그런데 우리나라에서는 3차 반마방진이라고 하면서 많은 이종 마방진 예시를 들어 설명하고 있는 실정입니다.
3차 이종 마방진의 예를 들어보면 아래와 같습니다.
다시 한번 말씀드리면 아래의 마방진은 이종 마방진이지 반 마방진이 아닙니다~~~~ 

 

 

 

위 이종 마방진에서 특이한 부분에 대해서 녹색으로 표시를 해 보았습니다.
맨 위의 3*3의 3방진 두개의 경우 1에서 9까지의 숫자 배열을 유심히 한번 살펴보십시요. 뭔가 일정한 패턴이 나타납니다.
그렇습니다.
1에서 9까지 기입하는 순서를 보면 나선형으로 기입한 것을 알 수 있습니다. 왼쪽 것은 바깥에서 안으로, 오른쪽 것은 안쪽에서 바깥쪽으로 나선형을 그리며 숫자를 기입한 것입니다.
여기서 물론 그 나선형의 방향을 바꾸어도 여전히 이종 마방진이 형성됩니다.
즉 왼쪽의 마방진은 시계방향으로 적었습니다만 시계 반대방향으로 적어도 됩니다.
오른쪽의 마방진은 가운데에서 바깥쪽으로 시계 반대 방향으로 적었습니다만 시계 방향으로 적어도 됩니다.
아울러 이 현상은 홀수차 방진에는 모두 그대로 적용된답니다.

그런데 이런 이종 마방진에서 좀더 특징적인 것들을 규정하여 새로운 개념의 마방진을 그룹화할 수 있습니다.
바로 '진짜 이종 마방진 (Real Heterosquare)' 이라는 것을 말이죠.

'진짜 이종 마방진'은 '진성 이종 마방진' 이라고도 표현할 수 있겠습니다.
'진성 이종 마방진'이란 가로 세로 대각선의 합이 서로 다르면서도 각 칸에 이미 적혀있는 숫자와도 겹치지 않는 마방진을 가리킵니다. 즉, 가로 세로 대각선의 합이 1에서 9까지의 숫자가 나오면 '진짜 이종 마방진'이 될 수 없는 것이죠.
즉, 1에서 9까지의 숫자와 가로 세로 대각선의 합인 8개의 숫자가, 도합해서 17개의 숫자가 모두 다를 때 '진짜 이종 마방진' 이라고 부릅니다.

이렇게 되면 반 마방진은 진짜 이종 마방진이 되는 것이지요.
새로운 용어가 자꾸 나오니깐 헷갈리지요?

간단하게 요약하면 반 마방진은 진짜 이종 마방진의 부분 집합이고 진짜 이종 마방진은 이종 마방진의 부분집합이 됩니다.

1에서 9까지의 숫자를 기입하는 3차 방진의 경우에 총 3,120 개의 이종 마방진이 있다고 합니다. (물론 대칭이나 회전의 경우는 중복 카운트하지 않고 하나로 계산해서 말이죠)
이 중에서 760개가 진성 이종 마방진이라고 합니다.
3,120 개 중에서 414 개가 2개의 연이은 숫자를, 1,352 개가 3개의 연이은 숫자를, 816 개가 4개의 연이은 숫자를, 374 개가 5개의 연이은 숫자를, 126 개가 6개의 연이은 숫자를, 38 개가 7개의 연이은 숫자를 보인답니다. 

이상의 내용은 반 마방진 관련해서는 세계적으로 그 권위를 인정받고 있는 Peter Bartsch의 주장을 요약한 것입니다.
아울러 아래에서 제시하는 사례도 그가 발견해낸 반마방진을 많이 포함하고 있습니다.

많은 사람들이 반 마방진에 대해서 궁금해 하기 때문에 퍼즐러 갱이 지금까지 확보한 반 마방진을 소개해 보겠습니다. 명색이 반마방진에 관한 글이면서 반마방진 사례가 없으면 말이 안되겠지요?^^

그런데 앞에서 이미 언급했듯이 반마방진을 만드는 것은 무지 어렵다고 합니다.
아무렇게나 숫자를 집어넣고 가로 세로 대각선을 더해 보면 합계가 같은 경우가 꼭 두세번은 나오기 때문이지요.

다만 이종 마방진을 만드는 간단한 방법은 몇가지 있습니다. 
홀수차 방진의 경우는 바로 위에서 설명한 방법입니다.
짝수차 방진의 경우는 1부터 차례대로 숫자를 써 넣고서는 맨 처음의 1과 2의 자리를 바꾸는 방법과, 맨 마지막의 숫자 두개를 바꾸는 방법이 있답니다.

자 이제 반마방진과 이종 마방진 사례를 제시해 보도록 하겠습니다.

1. 반마방진 사례

맨 마지막 반마방진의 경우에는 10차 반 마방진으로서 좀 특이한 놈입니다.
예전에 포스팅한 '마방진 뒷 이야기 3: 알브레히트 뒤러 (Albrecht Durer) 의 마방진 총정리' 글에서의 알브레히트 뒤러의 마방진을 보면 맨 아랫줄 가운데에 1514년의 표시가 있었습니다.
이 반마방진은 그것을 연상시키는 대목입니다.
즉 이 반마방진을 만든 John Cormie 가 이 반마방진을 만든 해인 1999년을 표시한 것입니다.
녹색으로 이미 표시를 해 두었지만 유심히 살펴보면 방진에 기입된 숫자가 0부터 시작되는 것을 알 수 있습니다.
만일 0이 아니라 1부터 시작했다면 1999라는 숫자는 나오지 못하겠죠.
즉, 1999라는 숫자를 만들어내기 위해 일부러 1부터 시작되는 반마방진에서 모든 칸의 값들에서 1을 차감한 것입니다. 그래도 나름 멋들어진 시도이며 결과 또한 아름다운것 같습니다.

2. 이종 마방진 사례 

3차 이종 마방진은 앞부분에서 이미 제시했으므로 건너뛰고 4차 이종 마방진부터 제시하겠습니다.

반마방진 관련해서 아직도 풀리지 않은 대표적 세가지 의문사항이 있습니다. 이것에 대한 답을 찾아낼 수 있다면 엄청난 연구결과가 될 것입니다.

1. 각 차수의 방진에는 과연 몇개의 반 마방진이 존재하는가?
2. 4차 이상의 모든 방진에 반마방진이 존재하는가?
3. 3차 반마방진이 존재하지 않는다는 것을 간단하게 증명할 수 있는가? 

이상의 많은 내용은 http://www.magic-squares.net/index.htm 사이트를 참조한 것임을 밝힙니다.
마방진 관련해서 엄청난 내용을 담고 있는 이 사이트의 운영자인 하비 하인즈 (Harvey Heinz) 에게 경의를 표합니다.

이상 반마방진에 대한 조사를 하다 머리 빠개지고 있고 눈꺼풀이 눈동자를 거의 다 덮고 있는 경험을 여러번 한 퍼즐러 갱입니다. 

 

*다음은 퍼즐러갱이 개설한 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!