마방진 뒷 이야기 5: 정말로 마술같은 상호작용 4차 마방진 공식 대해부

퍼즐러 갱 다시 한번 천기누설해 봅니다. 그저 4차 마방진을 만드는 일상적 공식을 말하는 것이 아닙니다. 상대방이 임의의 숫자를 말하면 가로, 세로, 대각선상의 셀에 적혀 있는 숫자의 합계 (매직 상수) 가 상대방이 말한 임의의 숫자가 되도록 하는 마방진을 만드는 방법에 관한 것입니다. 
그런데 가로 세로 대각선 뿐만이 아닙니다.
가운데의 네칸, 좌측 상단의 네칸, 좌측 하단의 네칸, 우측 상단의 네칸, 우측 하단의 네칸, 각 모서리의 네칸 등의 숫자를 더해 보아도 상대방이 말한 숫자인 매직 넘버가 나옵니다.

지난번에 포스팅한 '마방진 뒷 이야기 4: 정말로 마술같은 상호작용 4차 마방진' 글에서 소개한 내용은 그저 찌끼다시였습니다.
이번 글에서 본격적인 상호작용 4차 마방진을 총정리해 봅니다.

어찌 보면 정말 심리 마술 같습니다.
그것도 상대방이 보는 눈앞에서 거의 30초 안에 4차 마방진을 만들어 낼 수 있습니다.

대단하다구요?
그렇다고 해서 뭐 대단할 것 까지는 없구요.
누구나 만들 수 있답니다.
아래에서 퍼즐러 갱이 천기누설하는 공식만 잘 알고 있다면 말이죠.

지난 번에 포스팅한 '마방진 뒷 이야기 4: 정말로 마술같은 상호작용 4차 마방진' 글에서는 상대방이 어떤 경우를 선택해도 숫자가 자동적으로 34가 되는 케이스였다면, 이번 경우는 매직 합계가 34가 아닌 어떤 숫자에도 적용할 수 있다는 특징이 있습니다.
훨씬 유연하고 더 신기한 것이라 할 수 있지요.

그런데 퍼즐러 갱은 이러한 비법을 어떻게 알아내었을까요?
뭐 특별한 방법이 있었던 것은 아닙니다.
인터넷 서치를 하다 보니 한두개씩 보이고, 유튜브 동영상을 검색해서 보다 보니 또 한두개씩 쌓인 것이지요.
그렇다고 해서 모든 인터넷 사이트나 유튜브 동영상에서 해법 내지는 공식을 제시한 것은 아닙니다.

일부는 퍼즐러갱이 나름 꼼꼼히 분석해서 그 해법을 찾아낸 것들도 있습니다.

자 이제 본격적으로 천기누설로 들어갑니다요.

(아래에서는 각 방법별로 모두 X라는 기호가 들어가 있습니다. X는 바로 상대방(관객, 청중)이 말한 임의의 숫자로서 매직 상수에 해당합니다.)

(방법 1)

10	X-21	4	7
3	8	9	X-20
5	2	X-19	12
X-18	11	6	1

상대방에게 1에서 100 중에서 아무런 숫자를 고르라고 한 뒤, 그 숫자가 X일 경우, 위 마방진을 만들면 완벽한 4차 마방진이 됩니다.
각 행 열 대각선의 합이 X가 됩니다. X가 어떤 숫자이든지간에요.
이것은 위 표에서도 바로 확인이 가능하겠지요.

자 그런데 위 마방진은 아래의 마방진과도 동일한 것입니다. 

13	X-30	7	10
6	11	12	X-29
8	5	X-28	15
X-27	14	9	4

분명히 숫자와 수식이 다른데 왜 동일한 것이라고 말하는 것일까요?
위 마방진을 원본 마방진과 비교해 보면서 유사점을 찾아보시지요.

예 바로 그렇습니다.
숫자로 되어 있는 셀들의 값이 원본 값에 비해서 모두 3만큼씩 플러스 되어 있습니다.

어라? 그런데 산식이 있는 셀은 플러스 3이 아니라 마이너스 9가 되어 있네요?
이유는 알겠죠?
마방진의 정의와 성격에 의해서 각 행 열 대각선의 합은 동일해야 하며 이것은 매직 상수 X가 되는 것이지요. 즉, 각 행 열 대각선의 합은 그대로 X이어야 하는데 나머지 세 칸의 값이 3씩 모두 9가 증가했지요. 그러므로 산식이 적혀있는 셀의 값은 9를 빼 주어야 합계가 그대로 X인 상태가 되겠지요. 동일한 매직 상수값을 유지하기 위해서 말입니다.

자 그렇다면 이런 식으로 위 기본 마방진 공식을 자유자재로 변형시킬 수 있겠지요?
예를 들면 숫자만 있는 각 셀의 값에 1씩 더하고, 산식이 있는 셀에는 3을 뺀다든가,
숫자만 있는 각 셀의 값에 2씩 빼고, 산식이 있는 셀에는 6을 더한다든가,
숫자만 있는 각 셀의 값에 3씩 빼고, 산식이 있는 셀에는 9를 다한다든가 하면서 말이죠.

이것은 아래에서 설명하고 있는 제반 방법에 모두 동일하게 적용됩니다.

자 이정도 설명했으니 이제는 확인 문제 들어갑니다요~~~

문제 1: 기본으로 제시한 마방진에서 1행 1열의 값인 10을 14로 바꾸면 나머지 셀의 값과 산식은 어떻게 변할까요?
어렵지 않으니 한번 풀어보시지요.ㅋㅋㅋ

(방법 2)

2	8	9	X-19
11	X-21	4	6
X-18	10	7	1
5	3	X-20	12

(방법 1)에서 설명한 것과 마찬가지로 위 공식을 아래와 같이 한번 바꾸어 변형해 보았습니다.

5	11	12	X-28
14	X-30	7	9
X-27	13	10	4
8	6	X-29	15

위의 두가지 마방진은 실질적으로 동일한 마방진이라는 것을 이제는 굳이 설명하지 않아도 되겠지요?

(방법 3)

6	12	X-21	3
X-19	1	8	10
4	X-20	11	5
9	7	2	X-18

위 마방진 공식은 아래의 마방진 공식과 동일한 것입니다. 

5	11	X-18	2
X-16	0	7	9
3	X-17	10	4
8	6	1	X-15

위 기본 마방진의 각 셀에 1씩 빼고, 산식에는 3을 더한 것이지요. 나머지 세칸이 1씩 감소했으므로 토탈 3이 감소한 것이고 따라서 동일한 매직 상수를 유지하기 위해서 플러스 3을 한 것입니다.
이제 이정도면 쉬게 이해가 되죠?

그런데 (방법 3)은 앞서 이미 설명한 (방법 2)와 매우 유사합니다.
자세히 한번 셀들의 값을 한번 비교해 보시지요.
오잉? 각 셀들의 값이 서로 완전히 다르고, 산식이 있는 셀들의 위치도 완존히 다른데 왜 유사하다고 하는 것일까요?
이유가 있습니다.
(방법 2)와 (방법 3)의 경우에 동일한 결과값을 지니는 마방진이 나오는 X (매직 총합) 값이 있기 때문입니다.
물론 기본 마방진을 그대로 이용해서는 이런 결과가 나오지 않구요. 기본 마방진을 적절하게 다른 형태로 변형하면 가능하답니다.
(방법 2)와 (방법 3)에서 각각 예시로 보여드린 변형 마방진을 자세히 보시면 유사하다는 것을 바로 알 수 있지요.^^

자 여기서 문제하나 더 내보겠습니다.

문제 2: (방법 2)에 나온 변형 마방진과 (방법 3)에 나온 변형 마방진이 동일한 결과를 내는 매직 상수(X)는 몇일까요?
어렵지 않으니 한번 풀어보시지요.ㅋㅋㅋ

(방법 4)

8	11	X-20	1
X-21	2	7	12
3	X-18	9	6
10	5	4	X-19

이제는 특별한 설명이 없어도 다 이해가 되실 듯하여 구체적인 설명은 생락하겠습니다.
다만 위의 (방법 4) 는 앞서 보여드린 (방법 2) 와 비슷한 점이 많답니다.
그렇다고 해서 동일한 것은 아니구요.
한번 비교해 보시지요.

힌트를 드린다면 행이 아니라 열을 기준으로 한번 비교해 보시지요.
예를 들면 (방법 4)에 의한 마방진의 첫번째 열은 8, X-21, 3, 10 으로서 (방법 2)에 의한 마방진의 2열 8, X-21, 10, 3 과 유사하되 마지막 두 칸만 순서를 바꾼 것처럼 보입니다.
그런데 (방법 4)에 의한 마방진의 두번째 열은 11, 2, X-18, 5 로서 (방법 2)에 의한 마방진의 1열 2, 11,X-18, 5 와 유사하되 첫 두 칸만 순서를 바꾼 것처럼 보입니다. 
(방법 4)에 의한 마방진의 세번째 열은 X-20, 7, 9, 4 로서 (방법 2)에 의한 마방진의 3열 9, 4, 7, X-20 과 유사하되 순서를 완전히 뒤바꾼 듯 하면서 두 칸의 순서가 바뀝니다.
(방법 4)에 의한 마방진의 네번째 열은 1, 12, 6, X-19 로서 (방법 2)에 의한 마방진의 4열 X-19, 6, 1, 12 와 유사하되 순서를 완전히 뒤바꾼 듯 하면서 두 칸의 순서가 바뀝니다.

참 신기한 일입니다요.
유사한 듯 하면서도 다르니 말이지요.

아래는 위 마방진의 각 셀에 2씩 더한 것입니다. 그러므로 산식에서는 6 만큼 뺀 것입니다.
유튜브나 인터넷 사이트 등에 자주 나오더라구요.

10	13	X-26	3
X-27	4	9	14
5	X-24	11	8
12	7	6	X-25

이상의 (방법 1) ~ (방법 4)는 X값이 21 이하일 경우 음수가 나올 수 있다는 단점이 있습니다.
또한 X값이 33 이하이면 숫자가 겹치는 현상도 발생합니다.
음수가 나오는 단점과 숫자가 겹치는 단점을 극복하기 위해서는 34 이상의 수를 고르라고 하면 됩니다.

여기서 잠깐!!
지금까지 설명드린 모든 방법들의 공식을 유심히 한번 살펴보시지요.
특히 산식이 들어가 있는 셀의 위치에 주목할 필요가 있습니다.
대략 세가지 정도의 공통점이 있습니다.
그 첫번째 공통점은 바로 한결같이 가로 세로 모두 겹치지 않게 위치해 있다는 사실입니다.
즉, 산식이 들어가 있는 셀을 기준으로 그 셀이 위치한 행과 열을 모두 체크하면, 4차 마방진의 16개 셀이 모두 체크되는 현상이 발생합니다.
이전 글인 '마방진 뒷 이야기 4: 정말로 마술같은 상호작용 4차 마방진' 에서 언급한 방식, 즉 모든 셀을 커버할 수 있는 위치인 것입니다.
(뭐 특별하지도 않은 것을 가지고서 너무 장황하게 설명한 것은 아닌지 하는 걱정이 앞서네요.^^)
두번째와 세번째 공통점은 맨 아래 부분에서 제시하는 부록에서 다시 알려드리겠습니다.

(방법 5)
여기까지 꼼꼼히 읽어주신 분들을 위해 퍼즐러갱이 드리는 특별 선물입니다.
위의 일반적 매직 스퀘어와는 달리, 이 방법은 상대방이 말한 숫자 3개를 상대방이 원하는 아무 칸에다 적고 시작하는 것입니다.
상당히 어려울 것으로 예상되지요?
예 실제로 그렇습니다.
머리속으로 좀 생각을 해야 합니다.

그러나 지난번에 포스팅한 '마방진 뒷 이야기 2: 생일 마방진 (Birthday Magic Square) 총정리' 글 내용 중 (방법 1)을 이해하셨다면 그리 어렵지 않을 수도 있습니다.
왜냐하면 이번 (방법 5) 는 P.K. Srinivasan의 생일 마방진 원리를 이용하는 것이기 때문입니다. 따라서 생일 마방진 (방법 1) 을 완벽하게 이해하시고 나서 본 방법을 사용하시길 바랍니다.

먼저 매직 상수가 세자리 숫자가 되면 아무리 쉬운 암산도 틀릴 위험이 있기 때문에 가급적이면 상대방에게 1에서 20까지의 숫자중에서 3개의 숫자를 고르라고 하는 것이 좋습니다. (같은 숫자를 적어도 상관없지만 이왕이면 다른 숫자로 고르라고 하십시요.)
그리고는 임의의 칸에 적으라고 합니다.
이런 경우 그 칸들이 가지는 의미를 파악해야 합니다.
많은 경우의 수가 있기 때문에 예를 들어 설명하겠습니다.

(예시 1)
상대방이 아래와 같은 셀에 세개의 숫자를 적었다고 가정해 보겠습니다.

	18
			13
		5

퍼즐러 갱은 위와 같은 제약 조건 하에서 아래와 같은 4차 마방진을 완성합니다. (매직 상수는 42)

0	12	18	12
12	18	2	10
7	5	17	13
23	7	5	7

어떻게 만들었을까요?

자 이제 설명들어갑니다요.

G	D	E	B
M	18(X)	H	J
N	K	C	13(Z)
A	L	5(Y)	F

먼저 A와 B 자리에 임의의 숫자를 기입합니다. 위에서는 23과 12를 적었습니다.
C 자리에는 A+B = X+C 가 되도록 하는 숫자를 찾아 기입합니다. 여기서는 17이 되는군요.
D와 E 자리에는 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 12와 18을 적었습니다.
F 자리에는 D+E = A+F 가 되도록 하는 숫자를 찾아 기입합니다. 여기서는 7이 계산되었군요.
G 자리에는 임의의 숫자를 적습니다. 여기에서는 0을 적었습니다. 이렇게 하면 첫번째 행과 대각선을 통해 매직 합계를 구할 수 있게 됩니다. 매직 상수는 42가 되는군요.
H와 J 자리에는 세번째 열과 네번째 열의 합이 매직 상수가 되도록 하는 숫자를 찾아 적습니다. 결과적으로 2와 10이 되는군요.
K 자리에는 E+Y =X+K 가 되도록 하는 숫자를 찾아 기입합니다. 여기서는 5가 되는군요.
L 자리에는 두번째 열 또는 네번째 행의 합이 매직 상수가 되도록 하는 숫자를 찾아 적습니다. 결과적으로 7이 되는군요.
M과 N 자리에는 두번째 행과 세번째 행의 합이 매직 넘버가 되도록 하는 숫자를 계산하여 적어 넣습니다. 결과적으로 12와 7이 계산되는군요. 참고로 M+N = B+F 랍니다. 이렇게 하면 첫번째 열의 합은 자동적으로 매직 상수가 된답니다.

다 되었습니다. 신기하죠?

또다른 방법을 제시해 보겠습니다.

G	D	E	B
M	18(X)	H	L
N	J	C	13(Z)
A	K	5(Y)	F

먼저 A 자리에 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 1을 적어 보겠습니다.
B 자리에도 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 26을 적어 보겠습니다.
C 자리에는 A+B =X+C 가 되도록 하는 숫자를 찾아 기입합니다. 여기서는 9가 되는군요.
D와 E 자리에는 임의의 숫자를 기입합니다. 여기서는 12와 3을 입력해 보겠습니다.
F 자리에는 D+E = A+F 값이 되도록 하는 숫자를 계산하여 기입합니다. 결과적으로 14가 되는군요.
G 자리에는 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 2를 적어 보겠습니다. 이제 첫번째 행과 대각선의 합 즉 매직 총계가 43이 되는 것을 알 수 있습니다.
H 자리는 세번째 열의 합이 매직 상수가 되도록 하는 숫자를 계산하여 기입합니다. 결과적으로 26이 되는군요.
J 자리는 G+F = H+J 가 되도록 하는 값을 찾아 입력합니다. 결과적으로 -10이 되는군요.
K 자리는 두번째 행의 합 또는 네번째 행의 합이 매직 상수가 되도록 하는 숫자를 계산하여 기입합니다. 결과적으로 23이 되는군요. 좀더 쉬운 방법으로 H+C = D+K 가 되도록 하는 K 값을 찾아도 동일한 결과를 냅니다.
L 자리는 네번째 열의 합계가 매직 총합이 되도록 하는 숫자를 계산하여 기입합니다. 결과적으로 -10이 되는군요. 좀더 쉬운 방법으로 G+A = L+Z 가 되도록 하는 L 값을 찾아도 동일한 결과를 냅니다.
이제 M과 N 자리에는 두번째 행과 세번째 행의 합이 매직 넘버가 되도록 하는 숫자를 계산하여 기입합니다. 결과적으로 9와 31이 되는군요. 참고로 M+N = B+F 가 된답니다.

이런 과정을 거치면 아래와 같은 마방진이 탄생합니다.  (매직 상수는 43)

2	12	3	26
9	18	26	-10
31	-10	9	13
1	23	5	14

다 되었습니다. 신기하죠?

A에서 N까지의 숫자를 계산해 내는 순서는 위 두가지 케이스를 잘 연구하시어 여러분들이 스스로 터득해 보기 바랍니다. 아주 다양한 순서로 적용할 수 있습니다.
이것은 아래에서 계속 설명할 (예시 2)와 (예시 3)도 동일합니다.
아울러 위 설명에서 알 수 있듯이 임의의 숫자를 기입하는 경우가 많아 아주 다양한 결과를 얻어낼 수 있습니다.

(예시 2)
상대방이 아래와 같은 셀에 세개의 숫자를 적었다고 가정해 보겠습니다.

	10		7
15

위 상태에서 마방진을 만들어 보겠습니다.

E	10(X)	C	7(Y)
M	A	F	K
N	G	B	L
15(Z)	H	J	D

먼저 A와 B 자리에 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 13과 9를 적어 보겠습니다.
C 자리에 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 8을 적어 보겠습니다.
D 자리에는 X+C = Z+D 가 되도록 하는 숫자를 골라 적어 넣습니다. X+C = 18 이므로 결과적으로 3이 되는군요.
E 자리에 임의의 숫자를 적습니다. 여기에서는 11을 적어 보겠습니다. 이렇게 되면 첫번째 행과 대각선의 합은 36이 됩니다.
F와 G 자리에는 E+D = F+G 가 되도록 하는 숫자를 계산하여 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 2와 12를 입력해 보겠습니다.
H와 J 자리에는 2열과 3열의 합이 매직 상수가 되도록 하는 수를 계산하여 기입합니다. 결과적으로 1과 17이 되는군요.
K와 L 자리에는 E+Z = K+L 이 되도록 하는 수를 계산하여 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 2와 24를 입력해 보겠습니다.
이제 M과 N 자리도 두번째 행과 세번째 행의 합이 매직 상수가 되도록 하는 값을 계산하여 기입합니다. 결과적으로 19와 -9가 되는군요.

이런 과정을 거치면 결과적으로 아래와 같은 마방진이 탄생합니다. (매직 상수는 36)

11	10	8	7
19	13	2	2
-9	12	9	24
15	1	17	3

다 되었습니다. 신기하죠?

여기서 보다 예쁜 마방진을 만들기 위한 비법을 알려드리면 K와 L 자리에 들어가는 숫자에 관한 것입니다. K 자리를 계산할 때 위에서 설명한 방법 대신 C+Y+F+K = 매직 상수가 되도록 하는 K 값을 계산하여 적어 넣고, 
L 자리의 값은 B+L+J+D = 매직 상수가 되도록 하는 L 값을 계산하여 적어 넣으면 훨씬 아름다운 마방진이 태어납니다.

자 이쯤에서 문제 하나 안내면 심심하겠죠?^^
문제 3: 바로 위에서 알려드린 비법에 의한 마방진을 만들어 보세요.(물론 M과 N 자리의 값도 자동적으로 바뀌어야겠죠?)

(예시 3)
상대방이 만일 아래와 같은 셀에 세개의 숫자를 적었다고 가정해 보겠습니다.

3
13
	4

위 상태에서 마방진을 만들어 보겠습니다.

3(X)	A	B	H
L	K	E	M
13(Y)	F	G	N
C	4(Z)	J	D

먼저 A와 B 자리에 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 2와 6을 적어 보겠습니다.
C와 D 자리에는 A+B = C+D 가 되도록 하는 숫자를 골라 적어 넣습니다. A+B = 8 이므로 여기서는 1과 7을 적어 보겠습니다.
E와 F 자리에는 X+D = E+F 가 되도록 하는 임의의 숫자를 기입합니다. 여기에서는 4와 6을 적어 보겠습니다. 
G 자리에는 A+Z = E+G 가 되도록 하는 숫자를 계산하여 기입합니다. 결과적으로 2가 되는군요.
H 자리에도 임의의 숫자를 적어 넣습니다. 여기에서는 10을 적어보겠습니다. 이제 매직 상수값을 첫번째 행과 대각선을 통해서 계산해 낼 수 있습니다. 매직 상수값을 계산해 보면 21 이 되는 군요.
J 자리는 B+E+G+J = 매직상수 또는 네번째 행의 합이 매직상수가 되도록 하는 값을 계산하여 기입합니다. 결과적으로 9가 되는군요.
K 자리도 대각선의 합이 매직상수가 되도록 하는 값을 계산하여 기입합니다. 결과적으로 9가 되는군요.
이제 이정도 즈음에서는 이 방법 말고도 다른 방법이 있는 것을 눈치채셨죠?
즉, H+C = K+G 가 되도록 하는 K 값을 계산하여도 동일한 결과값이 나옵니다요.
L 자리도 첫번째 열의 합이 매직상수가 되도록 하는 값을 계산하여 기입합니다. 결과적으로 4가 되는군요.
M과 N 자리도 두번째 행과 세번째 행의 합이 매직 상수가 되도록 하는 값을 계산하여 기입합니다. 결과적으로 4와 0이 되는군요.

이런 과정을 거치면 결과적으로 아래와 같은 마방진이 탄생합니다. (매직 상수는 21)

3	2	6	10
4	9	4	4
13	6	2	0
1	4	9	7

다 되었습니다. 신기하죠?

자 여기서 또 문제하나 나갑니다요~~~~
문제 4: L 자리에 들어갈 숫자를 계산할 때 위에서 설명한 방식 말고 좀더 쉬운 방법이 있습니다. 숫자가 커져 암산할 때 머리가 아프면 사용할 수 잇는 좀더 쉬운 방법입니다. 그 다른 방법은 무엇일까요?
(힌트: 위에서 설명한 K 자리를 계산하는 다른 방법 참조)

아이구. 퍼즐러 갱 힘드네요.
비슷한 로직을 지니는 것을 각종 예시를 통해 설명하려다 보니 약간은 지치네요. ㅋㅋㅋ
그래서 여기서 그칠렵니다.
나머지 케이스들은 여러분들 스스로 연구해 보시고 활용해 보시지요.
혹시 다양한 케이스를 만들어 혼자서 직접 해보시다 어려우면 댓글로 문제를 남겨주세요. 퍼즐러갱이 만들어 드리겠습니다.

위에서 제시한 예시 모두 매직 총합이 나오는 곳이 무지 많으니 그것까지 상대방에게 자세히 알려줘 보세요.
당근에 말밥으로 다들 놀라 자빠질 것입니다.^^

(방법 6)
마찬가지로 여기까지 꼼꼼히 읽어주신 분들을 위해 퍼즐러갱이 드리는 또하나의 특별 선물입니다.
이 방법은 퍼즐러 갱이 즐겨쓰는 방법입니다.
왜냐구요?
이유는 간단합니다.
상대방의 놀라움을 극대화시킬 수 있기 때문입니다.
어떻게 하는 것이냐구요?
거참 성질 급하시군요.
퍼즐러갱이 어련히 알아서 자세히 설명 안하겠습니까? ㅋㅋㅋ 농담이구요.

자 이 방법이 왜 상대방이 놀라워하는 것인지를 순서에 따라 말씀드리겠습니다.

1. 먼저 상대방에게 맨 첫번째 행에 아무 숫자든 골라서 4개를 적으라고 하십시요.
2. 그리고는 지정한 칸에 다시 아무 숫자나 적으라고 합니다.
3. 시연을 보이는 사람이 특정 칸에 숫자를 기입합니다.
4. 다시 지정한 칸에 다시 아무 숫자나 적으라고 합니다.
5. 시연을 보이는 사람이 특정 칸에 숫자를 기입합니다.
6. 다시 지정한 칸에 다시 아무 숫자나 적으라고 합니다.
7. 시연을 보이는 사람이 특정 세개의 칸에 숫자를 각각 기입합니다.
8. 다시 지정한 칸에 다시 아무 숫자나 적으라고 합니다.
9. 시연을 보이는 사람이 나머지 칸에 숫자를 모두 기입합니다.

이러면 끝입니다요.
상대방과 진정으로 상호작용하면서 마방진을 만들어 가니 상대방은 놀라 자빠질 수밖에 없습니다.
어라?
그런데 구체적인 수식이나 예시를 안보여주네?
ㅋㅋㅋ
그렇습니다.
위 내용은 (방법 5)와 마찬가지로 이미 지난번에 포스팅한 '마방진 뒷 이야기 2: 생일 마방진 (Birthday Magic Square) 총정리' 글에서 소개한 생일 마방진 (방법 1) 을 순서대로 적용했을 뿐입니다.
'마방진 뒷 이야기 2: 생일 마방진 (Birthday Magic Square) 총정리' 글을 아직 읽어보지 않은 분들은 해당 글을 읽어 보시기 바랍니다. 자세히 설명되어 있습니다.
ㅋㅋㅋ 이번 글도 읽게 하면서 지난 글도 함께 읽히려는 퍼즐러 갱의 고육지책입니다. 양해해 주세요~~~~
(그래서 다른 방법들처럼 본 글에서 예시를 제시하지 않았습니다. 그리고 수식도 제시하지 않았습니다.)

아울러 생일 마방진 (방법 1) 내용 중에서 핵심적인 내용은 특별히 아래 (부록 1) 로 다시 제시해 놓았으니 참고 바랍니다.

이처럼 단계 단계별로 상대방과 상호작용하고 교감하면서 마방진을 만들어가기 때문에 상대방의 놀라움은 더 커지는 것입니다.
대부분의 사람들은 16개의 칸에 자기가 임의로 고른 숫자를 더 많이 적어 넣을 수록, 그리고 시범을 보이는 사람이 자유롭게 적어 넣을 수 있는 칸의 수가 적을 수록 마방진을 만들기가 어렵다고 느끼기 때문이지요.
이것은 마방진을 좀 안다고 하는 사람이든, 전혀 모르는 사람이든 동일하게 느낀답니다.

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이상 퍼즐러갱이 지금까지 알고 있는 마술같은 상호작용 4차 마방진이었습니다.
무지 많지요이이이이이이이이~~~~~잉?
그래도 새로운 공식을 적용한 새로운 4차 마방진을 퍼즐러갱이 새로이 알게 되면 계속적으로 업데이트하도록 하겠습니다.

이렇게 많은 방법을 총정리 대해부 해서 알려드리니 고맙지요?
헤헤헤
독자 여러분이 그렇다고 생각하신다면 퍼즐러갱은 그저 대만족입니다.
본 블로그를 통해서 퍼즐 관련한 호기심, 관심, 재미를 조금이라도 느끼는 분이 한분이라도 더 늘어난다면 그것으로 퍼즐러 갱은 만족입니다.
사실은 본 포스팅을 통해 주먹구구식으로 그때 그때 13579로 띄엄띄엄 접했던 마방진을 퍼즐러 갱 스스로 정리해 보는 의미도 있었습니다만요. 헤헤헤

이상의 방법을 유심히 살펴본 뒤에 자신에게 맞는 것, 그리고 상황별로 최적의 것을 선택해서 사용하면 됩니다.
또는 이미 설명한 것처럼 일정한 수를 더하거나 빼서 응용한 마방진을 만들어내어 사용해도 됩니다. 특히 겹치는 수가 나오지 않도록 하기 위해서는 기본 산식이 들어있는 마방진에 동일한 숫자를 더하거나 빼면서 변형시켜야 하는 경우가 발생하기도 됩니다.

물론 각 셀에 있는 숫자들을 기본적으로는 암기해야 합니다.
각자 쉽게 외워지는 방법을 채택해서 사용하면 됩니다.
실제로 사람들에게 면전에서 즉석 마방진을 만들 경우에 적용할 수 있는 팁을 드린다면 순서를 적당히 섞어서 적으면 됩니다.
일련번호로 적으면 마치 외워가지고 하는 티가 나니깐요.^^
(그런데 또 어떤 사람들은 연번으로 적는 것이 더 신기하다고 말하기도 합니다. 각자 한번 시도해보고 어느 것이 더 효과적인지 스스로 판단해 보기 바랍니다.)

만일 특별한 날의 기념 선물로 제시한다면 미리 깔끔한 엽서 같은 빳빳한 종이에 최적의 마방진을 만들어서 전달하면 되겠지요. 이왕이면 숫자가 겹치지 않고, 가급적이면 일련번호로 나오는 방법을 고안해서 말이죠.
그리고 선물로 사용할 경우에는 특별한 의미가 있는 숫자가 매직 상수가 되도록 하는 것은 당근에 말밥이겠죠?ㅋㅋㅋ
생일을 맨 첫번째 행에 적고 마방진을 만드는 방법은 이미 포스팅한 '마방진 뒷 이야기 2: 생일 마방진 (Birthday Magic Square) 총정리' 글을 참조하시구요.^^

에궁.
여기까지 정리하고 적는데에도 꽤나 많은 시간이 소요되었네요.
그래도 퍼즐러갱 알고 있는 내용을 끝까지 털어내 보겠습니다. 아래 부록에서 말이죠.ㅋㅋㅋ

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(부록 1) : P.K. Srinivasan 의 방법

A	B	C	D
E	F	G	H
J	K	L	M
N	P	Q	R

위 표에서 I 와 O 는 아라비아 숫자 1, 0 과 비슷하기에 건너뛰고 표시했습니다. 착오없으시기 바랍니다요.

1단계: 먼저 A, B, C, D 에 생일을 적어야겠지요. 앞에서 이미 언급했으므로 건너뜁니다요.
2단계: B+C = N+R 이 되도록 N과 R 값을 임의로 선택하여 기입. 따라서 여러 경우의 수가 존재하겠지요.
3단계: A+R = G+K 가 되도록 G와 K 값을 임의로 선택하여 기입. 따라서 여러 경우의 수가 존재하겠지요.
4단계: N+D = F+L 이 되도록 F와 L 값을 임의로 선택하여 기입. 따라서 여러 경우의 수가 존재하겠지요.
5단계: G+L = B+P 가 되도록 P값을 계산하여 기입(또는 B+F+K+P = 매직 상수 가 되도록 P값을 계산하여 기입). 딱 하나의 값만 나오겠지요.
6단계: F+K = C+Q 가 되도록 Q 값을 계산하여 기입(또는 C+G+L+Q = 매직 상수 가 되도록 Q 값을 계산하여 기입). 딱 하나의 값만 나오겠지요.
7단계: A+N = H+M 이 되도록 H와 M 값을 임의로 선택하여 기입. 따라서 여러 경우의 수가 존재하겠지요.
8단계: E+F+G+H = 매직 상수 가 되도록 E 값을 계산하여 기입. 단 하나의 값만 나오겠지요.
9단계: J+K+L+M = 매직 상수 또는 A+E+J+N = 매직 상수 가 되도록 J 값을 계산하여 기입. 단 하나의 값만 나오겠지요.

(부록 2)
혹여 어떤 분은 아래와 같은 새로운 방법을 제시할 수도 있습니다. 
퍼즐러 갱이 위에서 제시한 마방진들과 완전히 다른 것이라고 하면서 말이죠.

X-20	1	12	7
11	8	X-21	2
5	10	3	X-18
4	X-19	6	9

그런데 정답은 아니올시다 랍니다.
이미 설명드린 방법 중 하나랍니다.
어라? 기존에 설명한 방법들과 셀들의 값이 분명히 다르고, 수식이 들어 있는 셀들의 위치도 전혀 다른데 왜 이미 설명한 방법과 같다고 하는 것일까요?

여기서 그 이유를 말씀드리기 전에 걍 또하나의 문제로 제시해 봅니다.^^
(오잉? 부록에서도 문제를 낸단 말인가요? ㅎㅎㅎ 퍼즐러 갱 맘입니다요~~~~)

문제 5: 위의 마방진 공식은 앞에서 설명한 방법 중 몇번의 방법과 동일한 것일까요?
힌트를 드린다면 기본 마방진을 좌우대칭, 상하대칭, 회전대칭해 보시면 된답니다.
좀더 자세히 말씀드리면 기본 마방진의 행의 위치를 한번 바꾸고, 열의 위치도 한번 바꾸고, 열을 행으로 바꾸면서 숫자를 역순으로 기입하면 된답니다.
한번 찾아보세요~~~

(부록 3)
혹여 또 어떤 분은 (부록 2)에서 나온 마방진을 약간 변형하여 아래와 같은 마방진을 제시할 수도 있습니다.

1	12	7	X-20
8	X-21	2	11
10	3	X-18	5
X-19	6	9	4

그러나 위 마방진은 (부록 2) 마방진의 첫번째 열을 4번째 열로 옮긴 것에 불과합니다.
그리고 위 마방진은 양 대각선 방향에서 매직 상수가 나오지 않는 단점이 있습니다.

다시한번 여기서 잠깐!!
왜 위 마방진은 양 대각선 쪽에서는 X값, 즉 매직 상수가 나오지 않을까요?
그렇습니다.
위 4차 마방진의 한 가운데에 있는 네개의 셀 즉, 2행 2열, 2행 3열, 3행 2열, 3행 3열 셀에 산식이 두번 들어가 있기 때문입니다.
한 가운데에 있는 네개의 셀에 산식이 두번 들어가 있으면 행이든, 열이든, 대각선이든 어디에선가 하나는 매직 상수가 나오지 않게 되지요. 위 마방진에서는 양 대각선 방향에서 매직 상수가 나오지 않았구요.
지금까지 설명드린 (방법 1) ~ (방법 4) 의 공식을 다시한번 자세히 살펴보시지요.
모두들 맨 가운데에 있는 네 개의 칸에는 산식이 들어가 있는 셀이 딱 하나뿐인 것을 발견할 수 있을 것입니다.
그렇기 때문에 지금까지의 (방법 1) ~ (방법 4) 에서는 대각선에서도 모두 매직 넘버가 나온 것입니다.

그래서 첨언한다면,
자신만의 공식으로 위와 같은 4차 마방진을 만들고자 한다면 한 가운데의 네개의 셀에는 딱 한개의 산식만 들어가게 하는 것이 좋습니다.
(역시 뭐 특별하지도 않은 것을 가지고서 너무 장황하게 설명한 것은 아닌지 하는 걱정이 앞서네요.^^)

바로 위 내용이 본문 중에서 언급한 세가지 공통점 중에서 두번째 공통점이었습니다.

나머지 세번째 공통점은 바로 위 두번째 공통점과 유사한 것입니다.
대각선의 끝부분 즉, 네 귀퉁이 칸에는 수식이 들어 있는 셀이 딱 한개라는 점입니다.
이것은 바로 위와 동일한 원리로 대각선 부분에서 매직 상수가 나오지 않을 가능성이 매우 높기 때문입니다.

자 여기서 문제 하나 더 내 봅니다.
문제 6: 위 마방진은 비록 대각선에서 매직 넘버가 나오지 않는다고 말씀드렸습니다만 항상 그런 것은 아닙니다. 예외적으로 딱 한가지 경우에는 대각선에서도 매직 총계가 나오는 경우가 있습니다. 이렇게 (부록 3) 에서 제시한 마방진이 대각선에서도 매직 합계가 나오게 하는 X값은 얼마일까요?
(이 문제도 행여 독자 여러분의 지적 수준을 무시한 것이 아니냐는 비난을 받을까봐 퍼즐러갱 쪼메 걱정이 되기는 합니다요.^^)

(부록 4)
또 혹여 어떤 분은 (부록 2)에서 나온 마방진을 약간 변형하여 아래와 같은 마방진을 제시할 수도 있습니다.

11	8	X-21	2
X-20	1	12	7
4	X-19	6	9
5	10	3	X-18

(부록 3)에서 언급했던 현상, 즉 가운데 네 개의 셀에 수식이 들어 있는 셀이 두개가 되는 현상은 없습니다만 기본적으로는 (부록 2)에서 나온 마방진의 행만 순서를 약간 바꾼 것에 불과합니다.
즉, (부록 2)의 1행이 2행으로, 
(부록 2)의 2행이 1행으로, 
(부록 2)의 3행이 4행으로, 
(부록 2)의 4행이 3행으로 자리바꿈한 것에 불과합니다.
그래서 결론을 말씀드리면 여기 (부록 4)의 마방진은 (부록 2)의 마방진과 동일한 것이라 할 수 있으며, (부록 2)의 마방진은 이미 본문에서 설명드린 많은 방법 중 하나와 동일한 것이라 할 수 있습니다.

인터넷 사이트를 뒤지다 보면 여기 (부록 4)에서 제시되는 마방진도 자주 볼 수 있답니다.
착오없으시기 바랍니다.

(부록 5)
또 혹여 어떤 분은 (부록 2)에서 나온 마방진을 약간 변형하여 아래와 같은 마방진을 제시할 수도 있습니다.

7	2	X-18	9
12	X-21	3	6
1	8	10	X-19
X-20	11	5	4

자 이 마방진은 (부록 2)의 마방진과 어떤 관계에 있을까요?
척 보시면 알겠지만 (부록 2) 마방진의 1열이 4행으로,
(부록 2) 마방진의 2열이 3행으로,
(부록 2) 마방진의 3열이 2행으로,
(부록 2) 마방진의 4열이 1행으로 치환된 것에 불과합니다. 일종의 회전대칭인 셈이죠.

여기서 문제 하나 더 내봅니다.
문제 7: 아래 마방진은 위 마방진을 변형한 상태로서 수식까지 숫자로 바꾼 완전한 마방진입니다.
28, 27, 30, 29 자리의 산식은 무엇일까요?

16	11	30	18
21	27	12	15
10	17	19	29
28	20	14	13

(부록 6)
본문에서 설명한 (방법 1) ~ (방법 4) 를 보다 재미있게 상대방과 상호작용하면서 놀 수 있는 방법을 소개합니다.
이미 설명을 드리지 않아도 스스로 아래에서 제시하는 방식으로 해보아야겠다고 생각한 분들도 있을 것으로 생각합니다.
내용은 간단합니다.
먼저 1에서 100까지 중에서 아무 숫자나 말하라고 합니다. 그 숫자를 빈 마방진 바깥에 적습니다.
즉, 매직 상수로 취급하는 것입니다.
그리고는 1 에서 12 까지 아무 숫자를 말하라고 합니다. 상대방이 어느 숫자를 말하면 그 해당되는 칸에 기입을 합니다. (물론 이렇게 하기 위해서는 본문에서 설명드린 방법 중 특정 방법 하나를 선택해야 하고 그 방법의 수식을 이미 암기하고 있어야 합니다.)
그리고는 다시 1에서 12까지 아무 숫자나 고르라고 합니다. 그러면 또 그 해당되는 칸에 기입을 합니다.
그리고는 다시 1에서 12까지 아무 숫자나 고르라고 합니다. 그러면 또 그 해당되는 칸에 기입을 합니다.
물론 이것을 12번까지 반복할 수 있습니다. 그리고 나머지 4개의 칸은 수식에 따라 계산을 해서 나온 숫자를 기입하면 되겠지요.
그러나 12까지 반복하면 오히려 상대방이 눈치를 챌 가능성이 있기 때문에 적당히 7, 8 회 정도까지만 하시면 될 듯 합니다. 과유불급이니깐요.
그러면 상대방들의 눈이 휘둥그래집니다.
이세상에 이렇게 신기한 현상은 처음 본다.
마방진이 있다는 것은 알고 있지만 이렇게 내가 말한 숫자를 이용하면서 만들어내는 마방진은 처음이다라고 하면서 다들 박수 갈채를 보낼 것입니다.
물론 이럴 때는 살짝 웃어보이는 센스 발휘도 필요하겠죠?
이 방법을 퍼즐러 갱은 애용하고 있답니다.
상대방과의 상호작용 빈도를 높이기 위한 것이죠. 덩달아 기쁨 두배, 재미 두배가 되는 것은 당근에 말밥이구요.^^

어찌어찌 하다보니 부록의 양이 무지 많아져 버렸네요.ㅋㅋㅋ

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이렇게 부록으로 다양한 사례를 제시하는 이유는 간단합니다.
인터넷 사이트를 뒤지다 보면 여기 부록에서 제시한 마방진을 자주 볼 수 있기 때문입니다.
착오없으시기 바랍니다.

자 그렇다고 하면 퍼즐러 갱이 제시한 여러 방법들을 활용하면 매우 다양한 마방진을 만들 수 있겠지요?
기본 마방진에 일정한 수를 더하고 뺀다든가, 기본 마방진을 좌우대칭, 상하대칭, 회전대칭해 본다든가, 임의의 숫자를 적을 수 있는 경우에 다양하게 적어 본다든가, 약간 응용하여 일정한 수를 더하고 뺀 것을 다시 좌우대칭, 상하대칭, 회전대칭하는 경우 등 그 경우의 수는 무지 많을 것입니다요.
여러분들 스스로 응용 변형해서 한번 만들어 보시지요.

그리고 주위 사람들에게 놀라움과 즐거움을 선사해 보시지요.

본문과 부록에서 설명드린 내용을 하나의 퍼포먼스 컨텐츠로 해서 마술사들이 실제로 관중 앞에서 써먹으면서 자신의 생계로 이어가는 경우도 있습니다.
아니면 강의의 소재로 활용하는 경우도 많습니다. 아래 사진처럼 말이죠.
아래의 사진 4개는 유튜브에서 퍼온 것으로서 마술을 선보이는 장면과 강의를 하는 장면입니다.

자 이제 여러분도 어엿한 마술사, 강연자가 될 수 있습니다.

아참. 그리고 본문 및 부록에서 제시한 문제들을 한번 풀어보시지요~~~
여러분의 수준을 너무 무시한 문제인 것 같기도 하구요.

이제 드뎌 끝입니다.
퍼즐러갱 지금 죽을 맛입니다. 피곤해서요.
머리도 지끈지끈 아프구요.
글의 양이 너무 많은 것은 아닌 것 같구요.
역작의 탈고 뒤에 뒤따라오는 긴장감의 증발 아니면,
아마도 천기누설을 했기 때문이 아닌가 생각해 봅니다.^^

*다음은 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!