마방진 뒷 이야기 2: 생일 마방진 (Birthday Magic Square) 총정리

생일 마방진 (Birthday Magic Square) 은 일상적이지 않은 마방진입니다.
실제로 생일을 맞이한 친구, 자녀, 동료 들에게 세상에서 가장 기억에 남는 생일 선물로 선사할 수도 있습니다.
값비싼 실제 선물보다 오히려 더 소중한 선물이 될 수도 있습니다.

방법은 이렇습니다.
4차 마방진 표를 그린 뒤 맨 윗줄에 생년월일을 적습니다.
예를 들어 2011년 12월 13일이면 20, 11, 12, 13 이라고 맨 윗줄의 네칸에 숫자를 기입하는 것이지요. (서양식으로 12, 13, 20, 11 이라고 적어도 됩니다요~~)
(만일 생일이 아니라면, 상대방이 원하는 숫자를 빈 마방진 표의 맨 윗줄에 적고 시작해도 됩니다. 어느 숫자를 적어도 다 가능합니다. 그러나 계산 편의상 1에서 100 사이의 숫자를 적으라고 하면 됩니다. 즉, 생일을 이용하지 않아도 그저 어느 날짜라도 가능하다는 것입니다. 그래서 날짜 마방진 (Date Magic Square) 이라고도 표현합니다.)

그리고 나서는 나머지 12개의 비어있는 칸에 숫자를 척척 적어나가면 됩니다.
그러면 가로, 세로, 대각선, 인접한 네개의 칸에 있는 숫자의 합이 모두 똑같아지는 매직 스퀘어가 됩니다.
IQ 하고는 전혀 상관없습니다.
초등학교 1학년생도 풀 수 있습니다.
덧셈 뺄셈만 할 줄 알면 됩니다.

다만 일반적인 마방진의 원칙에서 약간 벗어난 결과가 나타나지요.
즉, 16개의 칸에 입력한 숫자들이 일부 중복되기도 합니다.
아울러 연이은 숫자로 구성되는 것이 아닙니다.

그래도 이런 마방진을 만드는 것이 쉽지는 않습니다.
한 칸에 넣는 수는 다른 칸에도 영향을 주기 때문이지요.
마치 큐브를 맞추는 과정에서 이쪽의 움직임이 다른 쪽의 움직임에 영향을 주는 것과 유사하지요.
그래서 일부 숫자가 겹쳐도, 연이은 숫자가 아니어도 훌륭한 생일 선물의 자격이 있습니다.
퍼즐러갱이 실제로 사용해본 결과 다들 엄청 좋아하더라구요.^^

생일 마방진을 만드는 방법에는 많은 종류가 있습니다.

먼저 생일 마방진하면 의례히 대표적으로 언급되는 것이 라마누잔 (Srinivasa Ramanujan) 의 마방진입니다.

(라마누잔의 마방진)

22	12	18	87
21	84	32	2
92	16	7	24
4	27	82	26

라마누잔은 1887년 인디아에서 태어났으며, 인도인으로서는 최초로 영국 왕립 학회의 정회원이 되었다고 합니다.
그러나 아쉽게도 그는 1920년 32세의 짧은 나이로 생을 마감합니다.
위 마방진이 라마누잔의 마방진인데 맨 위 행에 적혀 있는 것이 그의 생일이라고 합니다. 즉, 라마누잔은 1887년 12월 22일 태어난 것이지요. 
이렇게 그의 생일을 맨 첫 행에 적고 자신만의 생일 마방진을 만든 것이지요.
그러나 그는 그 자신의 생일 마방진에 대한 해법을 채 설명하지 못한 상태에서 짧은 생을 마감합니다.

위 마방진을 유심히 한번 살펴보시지요. 참 신기하지 않습니까?

자 거의 신비에 가까운 생일 마방진에 대한 모든 것을 공개합니다.
퍼즐러 갱이 지금까지 확인한 방법을 모두 시원~~~하게 공개하도록 하겠습니다.
거의 천기누설에 가깝다고도 볼 수 있습니다.
아래에서 제시하고 있는 생일 마방진을 모두 이해하고 나면 위 라마누잔의 생일 마방진 또한 쉽게 이해할 수 있습니다.
퍼즐러 갱의 퍼즐 박물관 블로그에 들른 보람이 있도록 하는 것이 퍼즐러갱의 당근 책무 아니겠습니까 여러분~~~

그리고 어차피 퍼즐러 갱도 책이나 인터넷 사이트 등을 통해 다른 사람들의 노력과 공개 배려에 의해 알게된 것이므로 퍼즐러갱이 지금까지 알고 있는 방법들을 모두다 시원하게 오픈합니다.

여러가지 방법을 설명하기 위해 대표적 날짜 하나를 예로 사용하도록 하겠습니다.
바로 2011년 12월 25일을 예로 사용하도록 하겠습니다.
다시 한번 말씀드리지만 굳이 올해의 크리스마스가 아니어도 어떤 날이어도 가능합니다.

구체적인 설명에 앞서 모든 방법에 있어 공통적으로 사용되는 용어를 먼저 정리해보겠습니다.
마방진에 있어서 각 행, 각 열, 각 대각선의 숫자의 합을 매직 상수 (Magic Constant), 또는 매직 넘버 (Magic Number) 또는 매직 합계 (Magic Total) 라 칭합니다.

방법 1 : P.K. Srinivasan 의 방법

A	B	C	D
E	F	G	H
J	K	L	M
N	P	Q	R

위 표에서 I 와 O 는 아라비아 숫자 1, 0 과 비슷하기에 건너뛰고 표시했습니다. 착오없으시기 바랍니다요.

1단계: 먼저 A, B, C, D 에 생일을 적어야겠지요. 앞에서 이미 언급했으므로 건너뜁니다요.
2단계: B+C = N+R 이 되도록 N과 R 값을 임의로 선택하여 기입. 따라서 여러 경우의 수가 존재하겠지요.
3단계: A+R = G+K 가 되도록 G와 K 값을 임의로 선택하여 기입. 따라서 여러 경우의 수가 존재하겠지요.
4단계: N+D = F+L 이 되도록 F와 L 값을 임의로 선택하여 기입. 따라서 여러 경우의 수가 존재하겠지요.
5단계: G+L = B+P 가 되도록 P값을 계산하여 기입(또는 B+F+K+P = 매직 상수 가 되도록 P값을 계산하여 기입). 딱 하나의 값만 나오겠지요.
6단계: F+K = C+Q 가 되도록 Q 값을 계산하여 기입(또는 C+G+L+Q = 매직 상수 가 되도록 Q 값을 계산하여 기입). 딱 하나의 값만 나오겠지요.
7단계: A+N = H+M 이 되도록 H와 M 값을 임의로 선택하여 기입. 따라서 여러 경우의 수가 존재하겠지요.
8단계: E+F+G+H = 매직 상수 가 되도록 E 값을 계산하여 기입. 단 하나의 값만 나오겠지요.
9단계: J+K+L+M = 매직 상수 또는 A+E+J+N = 매직 상수 가 되도록 J 값을 계산하여 기입. 단 하나의 값만 나오겠지요.

어라? 하라는 대로 하다 보니 벌써 완성되어 버렸네요. 무지 쉽지요이~~~~~잉?

위 해법 단계에서 P, Q, E, J 값을 제외하고는 각 단계 모두 많은 다양한 대안이 있습니다.
예를 들어 B와 C의 합계가 25라고 하면 N과 R은 10과 15가 될 수도 있고, 12와 13이 될 수도 있고, 11과 14가 될 수도 있습니다. 걱정 붙들어매시고 아무것이나 택하여 쓰면 됩니다.
다만 본 방법을 이용함에 있어서 보다 근사한 생일 마방진을 만들 수 있는 팁을 드린다면 다양한 경우의 수가 있을 때, 앞단계에서 이미 적혀 있는 숫자는 배제하고 조건에 맞는 수를 기입하는 것입니다. 예를 들면 2단계에서는 1단계의 A, B, C, D 에 10 이 있다면 10과 15 대신에 11과 14 또는 12와 13 등을 사용하라는 말씀입니다. 각 단계를 거칠 때마다 이미 적혀 있는 숫자 대신 새로운 숫자를 적어 나가시면 됩니다.
너무나도 당연한 것을 머 거창한 팁인 것처럼 말했다면, 독자 여러분을 무시했다면 너그러이 양해해 주세요~~~

(2011년 12월 25일 예)

20	11	12	25
8	20	19	21
30	14	15	9
10	23	22	13

위에서 예로 제시한 2011년 12월 25일 생일 마방진과 다른 마방진을 동일한 원리로 많이 만들 수 있다는 것은 위에서 이미 설명했기 때문에 다들 알고 계시죠? 여러분들 스스로 자신만의 다른 마방진을 한번 만들어 보시지요.
그리고 여러분 자신의 생일, 여자친구나 남자친구의 생일, 친구의 생일, 부모님의 생일, 남편이나 부인의 생일 모두 한번 만들어 보시지요.ㅋㅋㅋ

자 이 마방진에서 매직 넘버가 나오는 경우를 행, 열, 대각선 제외하고 모두 나열해 보면 아래 그림과 같습니다. 편의상 최초의 칸 명칭인 A, B, C, D,---, R 을 사용하였습니다.

 

위 방법에 의해 도출된 마방진은 장점과 단점을 모두 지니고 있습니다. 
장점: 신기한 생일 마방진을 만들기가 무척이나 쉽다. 하나의 생일에 대해 많은 다양한 생일 마방진을 만들어 낼 수 있다.
단점: 마방진의 각 칸에 들어가는 숫자가 겹칠 수 있는 확률이 꽤 높다. 그리고 행, 열, 대각선 외에 매직 넘버가 나오는 경우가 생각보다 많지 않다.

참고로 P.K. Srinivasan 은 인디아 사람으로서, 위에서 언급한 라마누잔 (Ramanujan) 박물관의 큐레이터였으며, Chennai (Madras) 에 있는 수학 교육 센터 (Maths Education Centre) 의 센터장이었으며, Muthialpet 고등학교의 수학 교사였다고 합니다. 
여러 저서가 있지만 마방진 관련해서는 '수학과 마방진 (Mathematics and Magic Squares)' 라는 책을 발간했습니다. 
그러나 아쉽게도 2005년에 별세했다고 하는군요.
위키피디어에 그에 관한 별도의 페이지가 있습니다. 관심있는 분들은 참고하시기 바랍니다.
바로가기--> http://en.wikipedia.org/wiki/P._K._Srinivasan

방법 2: 아써 벤자민 (Arthur Benjamin) 의 더블 생일 마방진 (Double Birthday Magic Square)

A	B	C	D
C-1	D+1	A-1	B+1
D+1	C+1	B-1	A-1
B	A-2	D+2	C

위 산식이 더블 생일 마방진의 핵심입니다.

왜 더블 (Double) 생일 마방진인지 그 이유를 알겠죠? 첫번째 행에 적어 놓은 생년월일이 마방진의 모퉁이 칸에 다시 나오기 때문이지요. 즉 1행 1열이 A, 4행 1열이 B, 4행 4열이 C, 1행 4열이 D 해서 다시한번 생일을 적었기 때문에 더블 생일 마방진이라고 명명한 것입니다.

그런데 이 생일 마방진을 만들 때 위 산식을 외워서 사용해도 되지만, 산식을 모두 외울 필요가 없기도 합니다.
더 쉬운 방법이 있답니다.
퍼즐러 갱 그 비법을 말씀드리겠습니다.

1단계: 먼저 A, B, C, D 에 생일을 적어야겠지요. 앞에서 이미 언급했으므로 건너뜁니다요.
2단계: 3행 2열 칸에 C+1 값을 기입
3단계: 4행 1열 칸에 B 값을 기입. (위의 2단계와 현 3단계 순서가 가장 중요. 이하부터는 마방진의 성격을 이용하여 기계적으로 계산하여 숫자를 기입하면 됨. 즉, 2단계와 3단계에 해당하는 칸에 숫자만 적어 넣으면 이후는 자동적으로 계산된다는 의미)
4단계: 대각선의 합이 매직 넘버가 되도록 2행 3열 칸의 값을 계산하여 기입
5단계: 우측 상단의 네개의 인접한 칸 (1행 3열, 1행 4열, 2행 3열, 2행 4열) 에 있는 값의 합이 매직 상수가 되도록 하는 2행 4열 칸의 값을 계산하여 기입하고, 가운데 상단의 네개의 인접한 칸 (1행 2열, 1행 3열, 2행 2열, 2행 3열) 에 있는 값의 합이 매직 상수가 되도록 하는 2행 2열 칸의 값을 계산하여 기입
6단계: 2행에 있는 모든 칸의 합 또는 좌측 상단의 네개의 인접한 칸 (1행 1열, 1행 2열, 2행 1열, 2행 2열) 에 있는 값의 합이 매직 상수가 되도록 하는 2행 1열의 값을 계산하여 기입
7단계: 1열에 있는 모든 칸의 합과 2열에 있는 모든 칸의 합이 매직 상수가 되도록 하는 3행 1열의 값과 4행 2열의 값을 계산하여 기입
8단계: 가운데에 있는 네개의 인접한 칸 (2행 2열, 2행 3열, 3행 2열, 3행 3열) 에 있는 값의 합이 매직 상수가 되도록 하는 3행 3열의 값을 계산하여 기입
9단계: 3열에 있는 모든 칸의 합 또는 가운데 하단의 네개의 인접한 칸 (3행 2열, 3행 3열, 4행 2열, 4행 3열) 에 있는 값의 합이 매직 상수가 되도록 하는 4행 3열의 값을 계산하여 기입
10단계: 이제 남은 3행 4열과 4행 4열 칸은 알아서들 해보세요~~~~^^

*4행 4열 값은 2단계에서 동시에 작성해도 됩니다.
*위의 각 단계에서 산출된 값은 앞에서 총괄적으로 제시한 산식에 의해 도출된 값과 같답니다.

역시 무지 쉽지요이~~~~~~~잉?

참고로 Arthur Benjamin 은 미국 캘리포니아의 클레어몬트 (Claremont) 에 있는 Harvey Mudd College 의 수학과 교수라고 합니다. 

(2011년 12월 25일 예)

20	11	12	25
11	26	19	12
26	13	10	19
11	18	27	12

자 이 마방진에서 매직 넘버가 나오는 경우를 행, 열, 대각선 제외하고 모두 나열해 보면 아래 그림과 같습니다. 편의상 최초의 산식을 이용하겠습니다.

 

 

 

 

 

무지 많지요이~~~~~~~잉?

위 방법에 의해 도출된 마방진은 장점과 단점을 모두 지니고 있습니다.   
장점: 바로 위에서 알 수 있듯이 매직 상수가 나오는 경우의 수가 무지 많다. 만들기가 매우 쉽다. 하나의 생일에 대해 많은 다양한 생일 마방진을 만들어 낼 수 있다.
단점: 동일한 수가 4번은 기본적으로 나오며, 그 이상 나올 수도 있다. 1월 생일 경우에는 2행 1열 값이 음수가 나올 수도 있다

위에서 제시한 단점 중 음수가 나오는 경우를 극복하기 위해서는 2행 1열 칸을 C-1 이 아니라 C+1 로 바꾸면 됩니다. 이럴 경우 나머지 칸의 수식이 어떻게 바뀌면 되는지는 여러분이 스스로 연구해 보시지요. 그리 어렵지는 않습니다. 이것은 2행 1열 칸을 C+1로 기입하고 나면 나머지 칸들은 자동적으로 결정되기 때문입니다.
그러나 이렇게 해도 동일한 수가 여러번 나온다는 기본적인 한계는 있습니다.

그리고 이러한 이유로 해서 위의 장점을 보시면 뜽금없이 '하나의 생일에 대해 많은 다양한 생일 마방진을 만들어 낼 수 있다.' 는 것이 적혀 있었던 것입니다.

아참 그럼에도 불구하고 여전히 키가 되는 셀은 3행 2열이 됩니다. 물론 산식은 바뀌겠지만 다른 셀들을 차례차례 채워나가기 위해서는 3행 2열 칸의 값이 여전히 매우 중요한 역할을 담당합니다.

그리고 눈썰미 있는 분들은 방법 2의 특징이 하나 있는데 이미 눈치를 채셨을 것입니다.
즉, 방법 2에 의해 도출된 생일 마방진은 이미 설명한 방법 1에 의한 많은 다양한 생일 마방진 중의 하나라는 점입니다.
왜 그런지는 한번 꼼꼼히 비교해 보시지요. ㅋㅋㅋ

방법 3:

A	B	C	D
E	F	G	H
J	K	L	M
N	P	Q	R

위 표에서 I 와 O 는 아라비아 숫자 1, 0 과 비슷하기에 건너뛰고 표시했습니다. 착오없으시기 바랍니다요.

1단계: 먼저 A, B, C, D 에 생일을 적어야겠지요. 앞에서 이미 언급했으므로 건너뜁니다요.
2단계: H, K, Q 자리에 아무 숫자든 연속된 세 개의 숫자를 기입. 예를 들면 1, 2, 3 을 기입해도 되고, 2, 3, 4 를 써넣어도 되고, 6, 7, 8 을 써넣어도 됩니다. 좀더 나아가서는 연속된 숫자가 아니어도 됩니다. 이럴 경우 그저 생일과 겹치지 않는 수를 써 넣으면 됩니다. 2단계가 본 방법의 키, 핵심, 엑기스, 정수입니다~~~~
3단계: 2행 3열 G 자리에 C+D+G+H = 매직 상수 가 되도록 G 값을 계산하여 기입
4단계: 4행 1열 N 자리에 대각선의 합이 매직 상수가 되도록 하는 N 값을 계산하여 기입하고, 3행 3열 L 자리에 3열의 합이 매직 상수가 되도록 하는 L 값을 계산하여 기입
5단계: 2행 2열 F 자리에 가운데의 네개 칸의 합인 F+G+K+L 이 매직 상수 가 되도록 하는 F 값을 계산하여 기입
6단계: 2행의 합, 대각선의 합이 각각 매직 상수가 되도록 하는 E 값과 R 값을 계산하여 기입
7단계: J, P, M 칸에는 각 열의 합이 매직 상수가 되도록 하는 값을 계산하여 기입

헷갈린다구요?
잘 모르겠다구요?
말해줄거면 좀더 체계적으로 한눈에 들어오도록 순서를 알려주면 좋을 것 같다구요?
예 그렇게 하지요.
다시한번 친절한 퍼즐러갱이 되어 보겠습니다.ㅋㅋㅋ

위에서 설명한 것을 좀더 이해하기 쉽도록 하기 위해서, 각 칸을 채우는 순서를 위에서 제시한 단계로 표시해 보면 아래와 같습니다.

1	1	1	1
6	5	3	2
7	2	4	7
4	7	2	6

역시 참 무지 쉽지요이~~~~~~~잉?

참고로 각 칸을 채워나가는 순서는 위에서 설명한 것 말고도 다른 순서가 있을 수도 있습니다. 어떤 순서를 거치더라도 어차피 같은 생일 마방진이 나오니깐 걱정하실 필요는 없습니다.

(2011년 12월 25일 예: 연속된 숫자를 사용한 경우)

20	11	12	25
24	13	24	7
13	8	23	24
11	36	9	12

(2011년 12월 25일 예: 연속된 숫자가 아닌 임의의 숫자를 사용한 경우)

20	11	12	25
27	10	21	10
6	7	30	25
15	40	5	8

위에서 예로 제시한 2011년 12월 25일 생일 마방진과 다른 마방진을 동일한 원리로 많이 만들 수 있다는 것은 위에서 이미 설명했기 때문에 다들 알고 계시죠? 여러분들 스스로 자신만의 다른 마방진을 한번 만들어 보시지요.
다시한번 말하면 H, K, Q 자리에 자신의 마음에 드는 아무 숫자를 넣어서 만들면 됩니다. 
그러면 첫행은 같지만 이하는 다른 매우 많은 생일 마방진을 만들 수 있습니다.
물론 이미 적혀 있는 생일과 겹치지 않는 수를 넣는 것은 이제 기본인 걸 알겠지요?

자 이 마방진에서 매직 넘버가 나오는 경우를 행, 열, 대각선 제외하고 모두 나열해 보면 아래 그림과 같습니다. 편의상 최초의 칸 명칭인 A, B, C, D,---, R 을 사용하였습니다.

 

 

 

 

역시 참 무지 많지요이~~~~~~~잉?

위 방법에 의해 도출된 마방진은 장점과 단점을 모두 지니고 있습니다. 
장점: 신기한 생일 마방진을 만들기가 무척이나 쉽다. 하나의 생일에 대해 많은 다양한 생일 마방진을 만들어 낼 수 있다. 그리고 바로 위에서 알 수 있듯이 매직 상수가 나오는 경우의 수가 무지 많다. 
단점: 마방진의 각 칸에 들어가는 숫자가 겹칠 수 있는 확률이 꽤 높다.

방법 2와 비교했을 때 매직 상수가 나오는 경우가 딱 2개 적네요. 즉 BCFG, KLPQ 칸이 매직 넘버가 되지 않습니다.

방법 4: Rick Carruth 의 방법
이것은 앞에서 설명한 4차 마방진과는 달리 3차 마방진을 이용한 것으로서 그 특색이 있습니다.
아울러 생일을 3차 마방진에 먼저 적고 시작하는 것이 아니라 생년월일 중에서 연도만 하나 적은 뒤에 그 연도에 달과 날짜를 적절히 더하거나 빼거나 하여 숫자를 기입해 나가는 것입니다.

무슨 말인지 헷갈리지요?
이 시점에서 친절한 퍼즐러 갱이라면 당근 좀더 자세히 설명해야 하겠지요?
예 물론입니다. ^^

아래의 마방진은 진짜 마방진이 아니라 생일 마방진을 만들어 나가는 순서(단계)를 기입한 것입니다. 착오 없으시기 바랍니다.

8	1	7
5	6	3
2	9	4

1단계: 생년월일의 두자리를 기입. 예를 들어 1980년생일 경우 80 을 기입
2단계: 상대방에게 생일의 달과 날 중 아무거나 선택하라고 한 뒤, 예를 들어 날짜를 선택하였다고 말하면 (달을 선택해도 무방), 다시 그 날짜를 1단계의 연도에 더할까 뺄까를 선택하라고 한 뒤, 예를 들어 더하기로 선택하면(빼기도 무방), 연도 + 날짜 를 기입
3단계: 2단계에 적힌 숫자에 다시 날짜를 한번 더 더하여 기입. 이상 3단계까지의 숫자가 가장 중요
4단계: 이제는 남은 것은 태어난 달이므로 1단계의 연도에 달을 더하여 기입
5단계: 3단계에서처럼 바로 전단계인 4단계에 적힌 숫자에 다시 달을 한번 더 더하여 기입
6단계: 이제는 연도, 달, 날짜를 모두 더하여 기입 (또는 2단계에서 나온 값에 달을 더하여 기입해도 무방)
7단계: 6단계에 적힌 숫자에 다시 달을 한번 더 더하여 기입
8단계: 3단계에 적힌 숫자에 달을 더하여 기입
9단계: 8단계에 적힌 숫자에 다시 달을 한번 더하여 기입

어라? 하라는 대로 하다 보니 벌써 완성되어 버렸네요. 무지 쉽지요이~~~~~잉?

자 각자의 생일을 가지고서 한번 해 보시지요.
3방진이 형성되어 있을 것입니다.
가로, 세로, 대각선 모두 합이 동일한 3차 마방진 말이지요.

위의 순서가 매우 중요합니다.
그리고 각 순서별로 날이나 달을 더하거나 빼는 것이 헷갈릴 수 있습니다만,
여러번 해보면 그리 어렵지는 않습니다.

참고로 친절한 퍼즐러 갱이 위에서 설명한 내용을 3차 마방진에 수식으로 적어 보여드리겠습니다.
편의상 연도는 Y, 달은 M, 날짜는 D로 표시해 봅니다.
또한 상대방이 날짜 및 더하는 것을 선택했을 때의 경우에 해당합니다.

Y+2D+M	Y	Y+D+2M
Y+2M	Y+D+M	Y+2D
Y+D	Y+2D+2M	Y+M

머리 좋은 분들은 아예 쉬 산식을 외워 사용하셔도 됩니다요~~~~
ㅋㅋㅋ 그런데 무지 헷갈릴걸요?
암튼 맨 앞에 설명한 방식처럼 각 칸에 적는 순서를 외워야 하는 것이나, 아예 위 산식을 외우는 것이나 뭐 거기서 거기이겠네요.

여기서 바로 위 3차 생일 마방진을 쉽게 만드는 비법을 공개합니다.
눈치빠른 분들은 이미 눈치를 챘겠지만 위에서 제시한 9단계를 다 거칠 필요가 없는 비법입니다.
즉, 4단계까지만 외우시면 됩니다.
3단계까지 숫자를 기입하고 나면 각 행, 각 열에 한칸씩은 꼭 숫자가 기입되어 있는 상태가 됩니다.
그리고 나서 4단계에 숫자를 기입하고 나면, 마방진의 원리에 따라서 7단계, 9단계의 칸에 있는 숫자는 자연스럽게 도출되지요. 다만 매직 넘버(상수)를 미리 계산할 수 있어야 합니다.
매직 넘버는 바로 위 산식에서 알 수 있듯이 3Y+3M+3D = 3(Y+M+D) 입니다. 즉 연, 월, 일을 모두 더한 숫자에 3을 곱한 것이 매직 상수가 된다는 소리입니다.
이제 나머지 칸에 대해서 굳이 설명하지 않아도 모두 자연스럽게 계산해 낼 수 있겠죠?

이 과정에서 극적인 묘미를 한층 높이려면 해당되는 칸에 기입하는 숫자가 연도, 달, 날짜와 관련이 있다는 것을 설명하는 것입니다.
즉, 바로 위에서 설명한 간편법을 사용할 경우라 할 지라도 이 간편법에 의해 도출된 숫자가 맨 처음 언급한 연도, 달, 날짜를 더하고 빼고 해서 나온 것이라고 말하면 다들 놀라 자빠질 것입니다요.ㅋㅋㅋ

여기서 잠깐 문제 하나 내 봅니다.
만일 상대방이 달을 선택하거나 빼는 것을 선택하면 위 산식은 어떻게 변하게 될까요?
ㅋㅋㅋ
위 산식을 뚫어지게 쳐다보면 뭐 그리 어렵지 않게 원리를 알 수 있을 것입니다.
여기서 다시한번 친절한 퍼즐러갱이 되어 볼까 하다가
여러분을 무시하는 것이 될 것 같기도 해서 여러분들 스스로 한번 해보실 수 있도록 정답을 제시하지는 않겠습니다.

관심이 있거나, 다른 사람보다 먼저 정답을 올리시고 싶은 분들은 댓글로 남겨주세요~~

(2011년 12월 25일 예)

73	11	60
35	48	61
36	85	23

위에서 예로 제시한 2011년 12월 25일 생일 마방진과 다른 마방진을 동일한 원리로 많이 만들 수 있다는 것(달과 날짜, 더하기와 빼기 등으로 인해 다양한 3차 마방진 탄생)은 위에서 이미 설명했기 때문에 다들 알고 계시죠? 여러분들 스스로 자신만의 다른 마방진을 한번 만들어 보시지요.
그리고 여러분 자신의 생일, 여자친구나 남자친구의 생일, 친구의 생일, 부모님의 생일, 남편이나 부인의 생일 모두 한번 만들어 보시지요.ㅋㅋㅋ

위 방법에 의해 도출된 마방진은 장점과 단점을 모두 지니고 있습니다. 
장점: 상대방과 상호작용하면서 상대방이 원하는 방식을 적용한 생일 마방진을 만들 수 있어서 극적 묘미가 크다. 동일한 날짜에 많은 다양한 생일 마방진을 만들어 낼 수 있다. 숫자가 겹칠 가능성이 매우 낮다. 
단점: 생일 자체가 마방진에 나타나지는 않는다.

참고로 Rick Carruth 는 미국의 Magic Roadshow 라는 잡지의 편집자이자 발행인입니다.

방법 5: 국내 도즈 (self_active) 님의 생일 마방진
국내 사이트를 검색하다 우연히 발견한 생일 마방진입니다.
출처는 http://cafe.naver.com/freecafe1 자유소설카페입니다.
좀더 정확한 주소는 http://cafe.naver.com/freecafe1.cafe?iframe_url=/ArticleRead.nhn%3Farticleid=9542& 입니다. 참고하시기 바랍니다.

결론적으로 말씀드리면 방법 2: 아써 벤자민 (Arthur Benjamin) 의 더블 생일 마방진 (Double Birthday Magic Square) 의 방법과 유사합니다.
즉, 방법 2를 설명하는 내용 중에서 맨 아래쪽을 보면 어떤 셀의 산식을 바꾸면 동일한 생일에 기초한 생일 마방진을 많이 만들 수 있다고 했습니다.
그 많은 생일 마방진 중에 하나가 바로 도즈(self_active) 님의 생일 마방진입니다.

그럼에도 불구하고 자신만의 창의적인 생일 마방진을 만들어낸 도즈(self_active) 님의 실험 정신과 도전 정신을 높이 치하합니다.

자 도즈(self_active)님이 창안해낸 마방진을 소개하겠습니다.
방법 2에서 이미 자세히 설명했기 때문에 이번에는 그냥 설명없이 공식만 적을께요. 양해해 주세요.

A	B	C	D
D-2	C+2	A+1	B-1
C-1	D-4	B+1	A+4
B+3	A+2	D-2	C-3

엄밀히 말씀드리면 4행 3열은 C-2로 되어 있었고, 4행 4열은 D-3으로 되어 있었으나, 아마도 오자인 것 같습니다.
그대로 적으면 3열과 4열의 합이 매직 넘버가 나오지 않거든요.
그래서 퍼즐러 갱은 위에서 보는 것처럼 D-2와 C-3으로 바꾸었습니다. 

(2011년 12월 25일 예)

20	11	12	25
23	14	21	10
11	21	12	24
14	22	23	9

자 이 마방진에서 매직 넘버가 나오는 경우를 행, 열 제외하고 모두 나열해 보면 아래 그림과 같습니다. 편의상 위에서 제시한 산식을 이용하겠습니다. 위 방법에 의해서도 매직 상수가 나오는 경우가 아래의 예시처럼 꽤나 많습니다. 물론 마방진의 핵심이라 할 수 있는 대각선에서는 매직 상수가 나오지 않기는 하지만서두요.

 

 

역시 무지 많지요이~~~~~~~잉?

위 방법에 의해 도출된 마방진은 장점과 단점을 모두 지니고 있습니다. 
장점: 신기한 생일 마방진을 만들기가 무척이나 쉽다. 매직 상수가 나오는 경우의 수가 많다.
단점: 마방진의 각 칸에 들어가는 숫자가 겹칠 수 있는 확률이 꽤 높다. 그리고 매직 상수가 나오는 경우의 수가 방법 2에 비해서 상대적으로 적다. 특히 각 대각선의 합이 매직 상수가 나오지 않는다.

위 공식 말고도 도즈(self_active)님은 7개 정도 더 있다고 밝히고 있습니다.
여러분들도 충분히 만들어 낼 수 있습니다.

즉, 방법 2의 내용과 방법 5의 내용을 깊이있게 읽고 이해한 뒤에, 더하고 빼는 숫자를 적절히 조합해 나가면 된다는 말씀입니다.
아울러 매직 넘버가 나오는 경우를 미리 예상한 뒤에 그 네개의 칸에는 A, B, C, D가 꼭 한번은 들어가도록 만들면 됩니다.

그러면 아주 많은 생일 마방진을 만들 수 있겠지요.

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이상 현재까지 퍼즐러갱이 알고 있는 생일 마방진 만드는 방법이었습니다.

참 많기도 하지요?
위 방법들 중에서 자신에게 가장 적합한 것, 또는 그냥 가장 마음에 드는 것 하나만을 골라 써먹어도 됩니다. 많은 방법을 알고 있어보았자 머리만 아프거든요.

퍼즐러갱은 개인적으로 더블 생일 마방진(방법 2)을 좋아한답니다.
실제로도 주위 사람들에게 많이 써먹고 있구요.
만들기가 아주 쉽잖아요. 머리나쁜 퍼즐러 갱에게는 그만입니다요.ㅋㅋ
그리고 매직 상수가 나오는 경우가 매우 다양하지요. 그래서 사람들이 더욱 놀랍니다.
다들 신기해하는 모습에 잔잔한 웃음만 보이시면 됩니다.
해법을 알려달라고 간곡히 요청하면 못이기는 척 하고 알려주시면 되구요.
이때 퍼즐러 갱의 퍼즐 박물관 블로그에서 알게 되었다고 살짝 알려주는 센스도 발휘하면 더욱 좋겠죠?ㅋㅋㅋ

기억에 오래남을 생일 선물, 그것도 돈이 들지 않는 생일 선물 어떻습니까?
다른 친구들과는 좀 색다른 생일 선물을 계획하고 있다면 생일 마방진 선물을 강추합니다.
(실제로 퍼즐러 갱이 최근에 생일 선물로 제시해 보았는데 그 어떤 생일 선물보다도 값지다는 소리를 들은 적이 있습니다.
돈 일푼 들이지 않고 엄청난 감사의 말까지 들었으니 일석이조이지요. 헤헤헤.)

이후에도 새로운 방식을 알게 되면 계속적으로 업데이트 하도록 하겠습니다.
퍼즐러 갱이 이 생일 마방진을 맨 처음 유튜브에서 우연히 보게 된 뒤로 요즘 마방진에 흠뻑 빠져 있는 상태이네요.^^

 

*다음은 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!