마방진 (魔方陣, 매직 스퀘어, Magic Square) 뒷 이야기 1: 이세상에 단 하나뿐인 3차 마방진

마방진이 무엇인지는 다들 아실 겁니다. 그래서 본 블로그에서는 일반적이지 않은 좀 색다른 내용을 중심으로 구성해 보려고 합니다.
(예를 들면 마방진의 정의나 만드는 방법 등에 대해서는 신씨네 홈페이지 (http://user.chollian.net/~brainstm/) 를 들어가보면 자세히 설명되어 있습니다. 참조하시기 바랍니다.) 

현재 인기몰이를 하고 있는 '뿌리깊은 나무' 드라마 초반에 마방진이 소개되면서 최근에 마방진에 대한 관심도가 높아진 것 같습니다.

마방진은 기본적으로 논리 퍼즐 (Logic Puzzle) 에 해당됩니다. 그러나 이 논리 퍼즐을 손으로 만지면서 가지고 놀 수 있도록 기계적 퍼즐로 변환하여 만든 퍼즐이 있습니다. 바로 아래 사진처럼 말이죠.

(출처: http://paxpuzzle.com/index.php)

위 퍼즐을 유심히 살펴보면 마치 '15 퍼즐' 인 것 같은 착각에 빠집니다. 그러나 정작 15 퍼즐이 아니고 마방진이랍니다. 그 이유는 15 까지만 숫자가 있는 것이 아니라 16 이라는 숫자가 하나 더 있기 때문이지요.
물론 16 이라는 숫자가 적혀 있는 나뭇조각을 빼내면 15 퍼즐로도 활용하여 가지고 놀 수도 있습니다.

퍼즐러 갱의 로망인 퍼즐 박물관 (http://www.puzzlemuseum.com/) 에서도 앤틱 마방진 퍼즐을 소개하고 있습니다.

(출처: www.puzzlemuseum.com)

퍼즐러 갱의 놀이터인 Rob's Puzzle Page 에서도 약간의 마방진을 소개하고 있습니다. 아래 사진처럼 말이죠. 

 (출처: http://home.comcast.net/~stegmann/home.htm)

그래서 퍼즐러갱 용기를 내어 기본적인 속성은 논리 퍼즐이지만 기계적 퍼즐로도 간주할 수 있는 마방진을 좀 소개해 보려 합니다.

마방진은 가로 또는 세로 칸의 수에 따라 3차 마방진, 4차 마방진, 5차 마방진 ... 등이 있습니다.
본 글에서는 제목처럼 3차 마방진에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 
(3차 마방진이라는 표현은 3×3형 마방진, 3×3 마방진, 3*3 마방진, 3방진 등으로도 다양하게 불리고 있으나 여기서는 가장 많이 사용되는 표현인 3차 마방진이라는 표현을 사용하도록 하겠습니다.)

제목에서 말씀드린 것처럼 3차 마방진은 이세상에 딱 하나밖에 없습니다.(단정적인 표현입니다.)
참고로 4차 마방진은 880개가 존재한다고 알려져 있습니다. 5차 마방진은 275,305,224 개가 있다고 합니다.

그 딱 하나뿐인 3차 마방진은 바로 아래와 같습니다. 일종의 기본 3차 마방진입니다.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

어라? 이것 하나뿐이라고? 3차 마방진은 위의 것 말고도 아래와 같은 것들이 많이 있는데?

4	9	2
3	5	7
8	1	6

6	1	8
7	5	3
2	9	4

2	9	4
7	5	3
6	1	8

4	3	8
9	5	1
2	7	6

8	3	4
1	5	9
6	7	2

2	7	6
9	5	1
4	3	8

6	7	2
1	5	9
8	3	4

예 맞습니다. 위의 것들도 3차 마방진입니다. 그런데 3차 마방진은 이세상에 단 하나뿐이라고 하니 도대체 무슨 말일까요?
눈치빠른 분들은 눈치를 챘겠지만 기본적인 마방진을 요리저리 순서만 바꾼 것들입니다.
즉, 좌우대칭해 보거나, 상하대칭해 보거나, 회전대칭해 보거나 하면 결국 기본 마방진과 같은 숫자의 배열이 되지요.
그리고 이것은 3차 마방진의 한가운데에 있는 수는 항상 5 인 것을 보아도 알 수 있습니다.

그렇다면 3차 마방진은 왜 하나뿐일까요?
이것을 증명할 수 있을까요?
예 증명할 수 있답니다.
그리 어렵지는 않습니다. 다만 조금 긴 논리 전개가 있을 뿐입니다.
퍼즐러갱이 여기서 그것을 증명해 보겠습니다.
내용이 좀 길어서 4단계로 나누어 설명하겠습니다.

1. 각 행, 각 열, 각 대각선에 있는 숫자의 합은 15 입니다.

A	B	C
D	E	F
G	H	I

1부터 9까지 중복되지 않게 기입을 해야 하기 때문에,
A+B+C+D+E+F+G+H+I = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 입니다.
(물론 여기서 A=1, B=2, C=3,  ... I=9 라는 말은 아닙니다.)

그런데 각 행의 합은 같아야 하므로, 
A+B+C = D+E+F = G+H+I 가 됩니다.
A+B+C+D+E+F+G+H+I = 45 식에 D+E+F 와 G+H+I를 A+B+C로 대체하면
(A+B+C) + (A+B+C) + (A+B+C) = 45
따라서 3(A+B+C) = 45
결국 A+B+C = 15
아울러 D+E+F = G+H+I = 15

마방진의 성격에 의해서 열과 대각선의 합도 15가 됩니다.
즉, A+D+G = B+E+H = C+F+I = A+E+I = C+E+G = 15

2. 한가운데 자리 E에 올 수 있는 숫자는 5 뿐입니다.
가운데 E를 중심으로 나머지 칸의 숫자들이 한번씩 들어가도록 두번째 행, 두번째 열, 양쪽 대각선을 모두 더해 보면,
(D+E+F) + (B+E+H) + (A+E+I) + (C+E+G) = (A+B+C+D+E+F+G+H+I) + 3E = 15×4 = 60
45 + 3E = 60
E = 5

3. 숫자 1은 모서리 부분에 갈 수 있는 것이 아니라 각 행이나 열의 가운데 자리에 갈 수밖에 없습니다.
바로 윗 단계에서 증명이 된 E = 5 에 의해, E 자리에 일단 5를 기입한 상태에서 설명을 이어가겠습니다.

A	B	C
D	5	F
G	H	I

이제 1의 위치를 정해야 하는데 속성상 모서리 부분인 A, C, I, G 자리와 각 행이나 열의 가운데 자리인 B, F, H, D 자리로 나누어 설명하겠습니다.
먼저 A, C, I, G 중에서 대표적으로 A 자리를 예로 들어 설명하겠습니다.
만일 A = 1 이라고 가정하면, 대각선 AEI 에서 A+5+I = 15 이므로,
1+5+I = 6+I = 15
I = 9 가 됩니다.

이것을 위 마방진에 기입해 보겠습니다.

1	B	C
D	5	F
G	H	9

이 상태에서 열 CFI와 행 GHI 자리를 생각해 보겠습니다.
C, F, G, H 자리 중 어느 한 칸에 6 을 넣어보면,
GHI 행이나 CFI 열은 이미 I 가 9이므로 다른 한 칸을 채우기도 전에  6+9 = 15 가 되어 버립니다.
다른 숫자를 넣으면 15보다 커져 버리는 것이지요.
따라서 C, F, G, H 자리에는 6이 올 수 없게 됩니다. 

물론 7과 8을 넣어도 마찬가지입니다.
이미 두 숫자의 합이 7+9 =16, 8+9 = 17 이 되어버려서 마방진이 성립할 수 없게 되지요.

따라서 C, F, G, H 칸에는 6, 7, 8 대신에 2, 3, 4만 올 수 있습니다. (1과 5는 이미 자리를 차지하고 있으므로)
만일 C 칸에 2가 온다면, ABC 행의 합이 15가 되어야 하는 조건에 의해서, B = 12 가 됩니다.
9 이상의 숫자이기 때문에 있을 수 없는 현상이지요.
마찬가지로 3과 4를 넣어도 B=11, B=10 이 됩니다. 9 이상의 숫자이기 때문에 역시 있을 수 없는 현상이지요. 
따라서 A 자리에 1이 오면 I 자리는 자동적으로 9가 되며, 이렇게 되었을 때, C, F, G, H 자리에 올 수 있는 숫자가 없는 자기모순에 빠지게 됩니다.
즉, A 자리에는 1이 올 수 없다는 것이 되지요.

이것은 A 자리가 아니어도 C, I, G 자리는 모두 모서리로서 동일한 원리와 논리로 C, I, G 자리에는 1이 올 수 없게 됩니다.

4. 숫자 6과 8은 모서리 부분에 위치할 수밖에 없습니다.
그렇다면 1이 올 수 있는 자리는 B, F, H, D 칸 뿐입니다.
먼저 B 칸에 1을 넣어보면 아래와 같습니다.

A	1	C
D	5	F
G	H	I

위 마방진에서 가운데 열의 합이 15이므로 H는 자동적으로 9가 되겠지요.

A	1	C
D	5	F
G	9	I

이 상태에서 첫번째 행의 A 자리에 무슨 숫자를 넣을 지 한번 보겠습니다.
A 자리에 2를 넣어보면 첫번째 행에서 C=12 가 되어 성립 불가(9보다 크므로).
3과 4를 넣으면, C= 11, C=10 이 되어 역시 성립 불가(9보다 크므로).
따라서 A 자리에 올 수 있는 숫자는 6, 7, 8 중의 하나가 됩니다.

먼저 7을 넣어 보겠습니다.

7	1	C
D	5	F
G	9	I

그러면 첫번째 행에서 C 칸은 7이 됩니다. 동일한 숫자가 두번 들어가므로 성립 불가.

이제 6을 넣어 보겠습니다.

6	1	C
D	5	F
G	9	I

위에서 차근차근 비어있는 칸을 찾아서 숫자를 넣어가면 됩니다.
C=8, G=2, D=7, F=3, I=4 가 됩니다.
이것을 완성된 마방진으로 표시해 보겠습니다.

6	1	8
7	5	3
2	9	4

이제는 8을 넣어 보겠습니다.

8	1	C
D	5	F
G	9	I

마찬가지로 위에서 차근차근 비어있는 칸을 찾아서 숫자를 넣어가면 됩니다.
C=6, G=4, D=3, F=7, I=2 가 됩니다.
이것을 완성된 마방진으로 표시해 보겠습니다.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

위 두개의 마방진이 온전한 마방진으로 성립하게 되지요.

그런데 사실 위 두개의 마방진은 좌우대칭일 뿐입니다.
즉, 좌우대칭을 동일한 마방진으로 생각하면 동일한 마방진인 셈이죠.

물론 바로 위 기본 마방진에서 각 칸에 있는 숫자에 일정한 숫자를 더한 것도 마방진이 성립합니다.
또는 일정한 배수를 적용한 것도 마방진이 성립합니다.

예를 들면 아래 마방진은 바로 위 기본 마방진에 11을 모든 칸에 더한 것입니다.

19	12	17
14	16	18
15	20	13

아래 마방진은 위 기본 마방진에 3을 모든 칸에 곱한 것입니다.

24	3	18
9	15	21
12	27	6

아래 마방진은 0 에서부터 8 까지의 숫자를 이용한 3차 마방진입니다. 기본 마방진의 모든 칸에서 1 씩을 뺀 것이지요.

7	0	5
2	4	6
3	8	1

그렇다면 2 에서부터 10 까지, 3에서부터 11까지의 숫자가 들어있는 마방진도 모두 동일한 원리로 만들 수 있겠지요.

위 마방진들처럼 일정한 숫자를 모두 동일하게 더하든, 곱하든 마방진이 성립하는 이유에 대해서는 굳이 설명하지 않아도 되겠지요?

위와 같이 일정한 숫자를 더한 마방진, 일정한 배수를 적용한 마방진, 좌우대칭인 마방진, 상하대칭인 마방진, 회전대칭인 마방진을 모두 같은 것이라고 간주하면 이세상에는 딱 한가지의 3차 마방진만 있게 되는 것입니다.

이상 이세상에 3차 마방진은 딱 한개만 존재한다는 것을 증명해 보았습니다.^^

그런데 이 세상에 단 하나뿐인 이 3차 마방진에는 특이한 현상이 있습니다.
바로 아래와 같은 식이 성립하지요.

816 + 357 + 492 = 618 + 753 + 294 = 1,665
834 + 159 + 672 = 438 + 951 + 276 = 1,665

816²  + 357² + 492² = 618² + 753² + 294² = 1,035,369
834² + 159² + 672² = 438² + 951² + 276² = 1,172,421

요 현상은 참 신비롭게까지 느껴집니다.

에구. 생각해 보니 다시 한번 재미있는 퍼즐 이야기가 아니라 머리아픈 퍼즐 이야기가 되어 버렸네요.
여기까지 읽으신 분들은 나름 인내력이 있는 분들이었슴을 퍼즐러갱 인정합니다.^^

암튼 마방진에 한번 빠지게 되면 시간 무지 뺏깁니다.
조심하셔야 합니다.
퍼즐러 갱도 많은 시간을 소비했네요.

시간날 때마다 특이한 마방진에 대해서 연구 조사해본 뒤에 간간이 포스팅 하도록 하도록 하겠습니다.

 

*다음은 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!