마방진 뒷 이야기 3: 알브레히트 뒤러 (Albrecht Durer) 의 마방진 총정리

마방진 (魔方陣, 매직 스퀘어, Magic Square) 은 마술같은 정사각형을 의미합니다.
마(魔)가 마술을, 방진(方陣)이 정사각형을 의미하지요.
그리고 영어로는 Magic Square (매직 스퀘어) 라고 합니다. 마방진의 의미를 그대로 번역한 것이 Magic Square 인 것입니다.
즉, 마술을 의미하는 마(魔)가 Magic 으로, 정사각형을 의미하는 방진(方陣)이 Square 로 번역된 것입니다.

퍼즐러 갱은 일반적인 마방진에 대한 내용 대신에 나름 신기한 마방진, 재미있는 마방진, 특이한 마방진 등에 대해서 연구 조사한 뒤 포스팅하고 있습니다.

각설하고 이제 본론으로 들어가 봅니다.
알브레히트 뒤러 (Albrecht Durer, 1471~1528) 의 마방진은 멜랑콜리아 (Melencolia I) 라는 유명한 판화에 나오는 마방진입니다.
멜랑콜리아 판화는 1514년 작품으로서 아래와 같습니다.

(출처: www.wikipedia.org)

본 글에서는 멜랑콜리아 판화의 우측 상단에 있는 4차 마방진에 관한 내용을 정리해 봅니다. 멜랑콜리아에 대한 나머지 자세한 내용은 http://100.naver.com/100.nhn?docid=875525 사이트를 참조하시기 바랍니다.

(출처: www.wikipedia.org)

 

이것을 다시 표로 표현해 보겠습니다.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

가장 표준적인 4차 마방진이라 할 수 있습니다.
여기서 표준적인 마방진이라 함은,
1부터 시작해서 16까지의 숫자를 활용한 것을 가리킵니다.

사실 4차 마방진에는 1에서 16까지의 숫자가 아닌 것으로 구성된 수많은 마방진이 있거든요.

자 지금부터는 이 마방진을 꼼꼼하게 살펴보겠습니다.
아래 그림에서 파란색으로 색칠되어 있는 네개의 셀에 있는 숫자를 모두 더해 보세요. 
모두 34가 나옵니다.
그런데 가로 세로 대각선 뿐만이 아닙니다.
아래 그림에서 볼 수 있는 것처럼 그 조합은 무지 많습니다.
재미삼아 쭈~~~~욱 한번 살펴보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

무지 많지요이이이이이~~~~잉?
현재까지 퍼즐러 갱이 파악한 결과 총 58 가지의 경우가 있군요.
대칭이 이루어지는 거의 모든 부분에서 매직 상수가 나오는 것을 알 수 있습니다.
그저 마방진의 신기함에 놀라울 따름입니다.

유럽 예술 분야에서 마방진이 나타나기는 위의 마방진이 최초라고 하는군요.
Albrecht Dürer 의 마방진과 멜랑콜리아 I 은 댄 브라운 (Dan Brown) 의 로스트 심볼 (The Lost Symbol) 이라는 유명한 소설의 소재가 되기도 했습니다.

이 판화는 1514년에 만들어진 작품입니다.
이 마방진의 맨 마지막 행의 가운데 두 칸의 숫자를 한번 보시지요.
앗! 1514 라고 적혀 있네요. 
우째 이런 일이!!!!

Albrecht Durer 의 어머니인 Barbara Holper Durer 가 1514년 5월 16일에 사망했다고 하는군요.
이 마방진의 왼쪽에서 첫번째 열의 위 두 칸에 적혀 있는 숫자를 한번 보시지요.
앗! 16과 5입니다.
우째 이런 일이!!!!

Albrecht Durer 의 이름 이니셜은 A. D. 이겠지요.
영어 철자를 ABC 순으로 순서를 매기면 A는 1이 되고, D는 4가 되겠지요.
이 마방진의 맨 마지막 행의 좌 우 두 칸의 숫자를 한번 보시지요.
앗! 4와 1이 있네요.
우째 이런 일이!!!!

이 마방진은 매직 큐브 (Magic Cube) 로도 확장 가능하다고 합니다.
매직 큐브는 평면에서만 이루어지는 것이 아니라 입체적으로 이루어지는 마방진으로서 평면의 마방진보다 만들기가 한결 더 어렵겠지요.
예를 들면 아래 사진처럼 각 평면도 마방진이 되면서, 위에서 아래로 보았을 때, 좌우로 보았을 때, 앞에서 뒤로 보았을 때 각각 4개의 숫자의 합이 동일하게 되는 것을 말하지요.

(그림 출처: http://sites.google.com/site/aliskalligvaen/home-page/-magic-cube-with-duerer-s-square)

위 그림 출처 페이지에 있는 매직 큐브 결과를 그대로 가져와 봅니다.
한번 각자들 계산해 보시지요.

맨 위의 마방진 (Albrecht Dürer 의 마방진)

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

위에서 두번째 마방진

44	55	-26	-39
36	-17	22	-7
-35	-30	51	48
-11	26	-13	32

위에서 세번째 마방진

-51	-14	27	72
24	75	-46	-19
76	23	-18	-47
-15	-50	71	28

맨 아래의 마방진

25	-10	31	-12
-31	-34	47	52
-16	35	-6	21
56	43	-38	-27

또하나 재미있는 사실은 다소 어려운 용어이지만 미세구조상수 (The Fine Structure Constant, 기호 α) 라는 것과의 연관성입니다. 미세구조상수는 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타나는 용어로서 전자기력의 세기를 나타내는 물리 상수라고 합니다. 
이 마방진에서 각 4개 칸의 합은 34,
기본적으로 4개의 행 또는 열이 있으므로 4*34 = 136,
이 판화의 이름이 Melencolia I 이므로 1을 더하면 136+1 = 137,
그런데 미세구조상수 α는 아래의 수식과 같다고 합니다. 

 

이 식을 계산하면 결국 α ≒ 1/137 이 된다고 하는군요.
어라?
그렇다고 하면 위 마방진에서 나온 숫자 137과 관련이 있게 되네요.
즉, 137 ≒ 1/α 가 되지요.
최근에 마방진에 관심이 많은 물리학자가 발견해 낸 것이기는 하지만,
암튼 신기하기 그지 없습니다.
(아참 4개 칸의 합이 34가 되는 것은 Durer 의 마방진에만 해당되는 것은 아닙니다. 그래서 위 이야기는 재미삼아 만들어낸 이야기에 불과하다고 할 수 있습니다.)

알브레히트 뒤러 마방진은 표준 4차 마방진을 만드는 방법 중 하나입니다. 아마도 위에서 언급한 판화 제작 연도나 어머니의 사망일 등을 표현하기 위해서 그 중에 하나를 채택한 것이 아닐까 퍼즐러갱은 추론해 봅니다.
표준 4차 마방진을 만드는 방법은 이미 여러 사이트에서 언급하고 있기에 퍼즐러 갱은 다루지 않겠습니다. 

대신 알브레히트 뒤러의 마방진을 쉽게 만드는 방법을 도식화한 것이 있어 소개해 봅니다.

(출처: http://www.flickr.com/photos/quadralectics/4717672993/in/pool-magic-square)

 

위 그림 속 곡선을 따라 숫자를 기입하면 되지요.
위로 크게 볼록한 곡선 --> 아래로 작게 볼록한 곡선 --> 좌우 순서를 바꾸어 위로 작게 볼록한 곡선 --> 아래로 크게 볼록한 곡선 순서로 써 넣으면 됩니다.
참 쉽지요이이이이이~~~~잉?
각 셀 속의 숫자를 암기할 필요없이 위 그림 속의 4개의 곡선 순서만 외우면 되니까 편리합니다.

그리고 알브레히트 뒤러의 마방진 상에서 숫자를 1에서부터 16까지 연결해 보면 아래와 같은 문양이 나온답니다.
신기한 기하학적 대칭 문양이 나오는 것을 알 수 있습니다.

(출처: http://www.math.wichita.edu/~richardson/mathematics/magic%20squares/4th-ordermagicsquares.html)

 

마방진 관련해서 검색을 하다 보면 위와 같은 식으로 연이은 숫자를 연결해서 나오는 문양을 보여주는 경우가 많이 있습니다. 한결같이 독특한 문양들이 나오곤 하지요.
알브레히트 뒤러의 마방진 또한 예외는 아닌 것 같습니다.

*다음은 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!