분할/조합 퍼즐 (Dissection/Put-Together Puzzle) 총정리

먼저 분할/조합 퍼즐 사진들을 쭉 보여드리고 시작하지요.

아래의 퍼즐은 저주받은 정사각형 (The Cursed Square) 퍼즐입니다. 마커스 괴츠의 작품이구요. 물론 사진도 그의 사이트 (http://www.markus-goetz.de/) 에서 퍼온 것입니다. 5조각으로 구성되어 있습니다. 정사각형을 정삼각형으로 또는 정삼각형을 정사각형으로 변환시키는 것이 미션인 퍼즐입니다.

아래의 퍼즐은 퍼즐 월드 (www.puzzleworld.org) 에서 퍼온 퍼즐입니다. Walter Hoppe 가 제작한 퍼즐이라고 하는군요. 정육각형을 정사각형으로 분할 조합하는 것이 미션입니다. 이 퍼즐은 Maurice Kraitchik의 Mathematical Recreations 라는 책에 나오는 퍼즐이라고 하는군요. 그런데 최초로 이 퍼즐을 디자인한 사람은 Paul Busschop 이라고 합니다. 5조각으로 구성되어 있습니다.

아래의 퍼즐도 퍼즐 월드 (www.puzzleworld.org) 에서 퍼온 퍼즐입니다. 역시 Walter Hoppe 가 제작한 퍼즐이라고 하는군요. 정오각형을 정사각형으로 분할 조합하는 것이 미션입니다. 이 퍼즐은 Geoffry Mottsmith의 Mathematical Puzzles For Beginners and Enthusiasts  라는 책에 나오는 퍼즐이라고 하는군요. 그런데 최초로 이 퍼즐을 디자인한 사람은 헨리 듀드니 (Henry Dudeney) 라고 합니다. 6조각으로 구성되어 있습니다.

이제는 실물 퍼즐은 아니지만 도식화되어 있는 분할/조합 퍼즐들을 보여드리겠습니다.

위 도형들은 모두  http://home.btconnect.com/GavinTheobald/HTML/Index.html 사이트에서 퍼온 것들입니다.
Gavin Theobald는 도형 분할에 있어서는 세계에서 내노라 하는 전문가에 해당합니다. 그 스스로 분할을 위한 최소 조각 수 기록을 가지고 있기도 합니다. 위 사이트를 들어가 보시면 정말이지 엄청난 자료와 도해들이 있습니다. 참고하시기 바랍니다.

Gavin Theobald와 아울러 전세계적으로 분할/조합 퍼즐 관련한 대가로는 Greg Frederickson 이 있습니다. 

자 이제 분할/조합 퍼즐 (Dissection/Put-Together Puzzle) 이라는 것을 굳이 설명하지 않아도 무엇인지 알 수 있겠죠?
이미 여러 포스팅을 통해 분할 퍼즐에 대한 소개를 했습니다. 굳이 분할 퍼즐이라는 이름을 붙이지 않았을 뿐이죠. 예를 들면 정사각형을 4조각으로 분할해서 정삼각형을 만드는 것, 정오각형을 6개의 조각으로 분할해서 정사각형을 만드는 퍼즐 등 말이죠.

이번 글에서는 이러한 퍼즐들을 아우르는 내용을 총정리해 볼까 합니다.

그런데 제목을 보면 그냥 분할 퍼즐이라고만 표현하지 않고 분할/조합 퍼즐이라고 표현한 것을 알 수 있습니다.
이것은 기본 도형을 분할만 하는 것이 아니고 분할된 각 조각들을 가지고서 다시 재배열 또는 재배치하여 다른 도형을 만들어야 하기 때문에 이것은 기본적으로 재배열/재배치하는 조합의 성격을 지니고 있습니다.
즉, 분할 퍼즐은 그 속성상 조합 퍼즐의 속성을 지니고 있다는 말이지요.

분할 퍼즐은 영어로는 Geometrical Dissection, 즉 '기하학적 분할' 이라는 표현을 쓰기도 합니다. 어차피 기하학적 도형들을 가지고서 분할하기 때문에 붙여진 이름이겠지요.

이러한 분할/조합 퍼즐의 대표적인 것이 바로 헨리 듀드니 (Henry Dudeney)의 방물장수 퍼즐 (Haberdasher's Problem) 입니다. 즉 정삼각형을 요령껏 분할한 뒤 다시 그 분할된 조각들을 가지고서 동일한 넓이의 정사각형을 만드는 것이 미션인 퍼즐입니다.
이걸 돌려 표현하면 정사각형을 요령껏 분할한 뒤 다시 그 분할된 조각들을 가지고서 동일한 넓이의 정삼각형을 만드는 것이 미션인 퍼즐입니다.

그런데 이전 포스팅에서 제시한 것처럼 분할하는 방법이나 갯수에는 매우 많은 해법이 있습니다.
이루 말할 수 없을 정도이지요.

그렇다면 이런 모든 해법들을 관통하는 어떤 원칙이나 이론이 있을까요?

예 그렇습니다. 있습니다.
바로 Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem 이라는 것입니다.
우리말로 어떻게 번역해야 하는지는 잘 모르겠구요.
이 수학 이론에 의하면 모든 다각형은 요령껏 자르고 난 뒤 그 조각을 가지고서 다시 다른 다각형을 만들 수 있답니다.
여기서 중요하게 나오는 용어가 '분할 합동' 이라는 개념입니다.
즉 어느 다각형(A)을 잘 분할한 뒤 그 조각들을 가지고서 다른 다각형(B)을 만들 수 있다면 A와 B는 분할 합동인 것입니다. 분할 합동인 다각형은 서로 모습은 다르지만 면적은 같겠지요.
만일 A와 B가 분할 합동이고, B와 C가 분할 합동이며, C와 D가 다시 분할 합동이면 당근에 말밥으로 A와 C 또는 A와 D는 서로 분할 합동이 되겠지요.

Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem 을 단계적으로 설명해 보겠습니다.

1. 한 변의 길이가 같고 넓이가 같은 평행 사변형은 서로 분할 합동이다.
2. 넓이가 같은 두 평행 사변현은 서로 분할 합동이다.
3. 넓이가 같은 두 삼각형은 서로 분할 합동이다.
결론: 넓이가 같은 두 다각형은 서로 분할 합동이다.

알쏭달쏭하지요?
좀더 자세한 설명을 원하시면 Eucleides 퍼즐 연구실 (http://puzzleresearchroom.tistory.com/) 을 한번 들러보시지요. 자세히 설명되어 있답니다. 훌륭한 내용을 담고 있는 블로그를 운영중이신 Eucleides 님께 감사드립니다~~~
참고로 Eucleides 님은 이번 IPP 32의 IPDC (국제 퍼즐 디자인 대회) 에 자신의 퍼즐을 출품하여 심사위원 그랑프리를 받은 분입니다.

자 이제는 분할 퍼즐의 대가라고 할 수 있는 Greg Frederickson 의 작품들에 관한 것입니다.
일단 그의 사이트 주소를 알려드립니다.
http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/

이 사이트를 들어가 보시면 이 세상의 각종 분할/조합 퍼즐 종류와 이론을 만날 수 있습니다.
이 분야 하나만을 가지고서 깊이있게 연구하고 논문을 발표하는 것을 보면 세상은 참 재미있는 것 같습니다.

Greg Frederickson 은 분할/조합 퍼즐 분야의 정통성 있는 대가입니다.
그는 분할/조합 이론을 Hinged 로 확장, 더 나아가서는 입체 Hinged 로까지 확장해 나가고 있습니다.
수많은 애니메이션도 제공하고 있으니 시간날때 서핑해 보시기 바랍니다.
(Hinge 란 표현은 영어 사전을 참조해 보면 알 수 있지만 '경첩' 입니다. 따라서 Hinged 는' 경첩을 단' 이란 뜻이 되는 것이지요. 즉 각 조각들을 분할하기는 하는데 여기에 조건을 붙인 것입니다. 특정 조각들이 서로 연결되어 있으면서 접거나 돌리거나 해서 다른 도형을 만들어 보아야 한다는 조건 말이죠. 즉 Hinged된 특정 조각들은 서로 떨어질 수 없는 현상이 발생합니다.) 

위 이론과 Greg Frederickson 사이트 등을 통해 알 수 있는 것은
이 세상에는 무궁무진하게 많은 분할/조합 퍼즐이 가능하다는 것입니다.

자 여러분들도 여러분들 스스로의 분할 퍼즐을 한번 만들어 보시지요.
가능하면 조각 수를 줄이는 것이 미션입니다.
조각 수가 너무 많으면 너무 어렵고 멋이 없어지지요.
그리고 지금 이 순간에도 많은 수학자들이 그리고 많은 퍼즐러들이 이 조각 수를 하나라도 더 줄일 수 없나 하고 연구하고 있답니다.

여기서 도형 분할하는 과정에서 수많은 시도가 있었음을 알 수 있습니다.
최근에도 그 시도는 계속되고 있구요.
현재까지 발견한 최소 조각 수를 일목요연하게 표로 정리해 놓은 것이 있습니다. 바로 아래의 표입니다.

여기서 초록색 바탕에 써져 있는 숫자는 정다각형을 나타내고, R은 황금비 직사각형 (Golden Rectangle, 가로와 세로의 비율이 1:1.61803인 직사각형), G는 그리스 십자가 (Greek Cross, 적십자 표시와 동일한 것으로서 사방의 길이가 동일한 십자가), L은 라틴 십자가 (Latin Cross, 아래쪽이 그리스 십자가의 두배 길이인 십자가), 5/2는 꼭지점이 다섯개인 별, 6/2는 정삼각형을 엇갈려 포개놓아 꼭지점이 여섯개인 별 (다윗의 별), 8/2는 정사각형을 엇갈려 포개놓아 꼭지점이 8개인 별, 8/3은 리본 2개를 수직으로 서로 엇갈려 놓아 꼭지점이 8개인 별, 10/2는 꼭지점이 10개인 별, 12/2는 꼭지점이 12개인 별을 뜻합니다.  

위의 표에 나와 있는 수보다 적은 조각 수의 분할/조합 케이스를 찾으면 수학계에 길이남을 업적을 남기는 것이 됩니다.^^

아울러 가능하면 각 조각들의 크기가 비슷하면 더 좋습니다.
조각들의 크기에 큰 차이가 있으면 불안해 보이고 조악해 보입니다.

퍼즐러 갱도 한번 시도해 보렵니다.

재미있는 것 하나만 더 추가해 본다면 원본 다각형과 동일한 모양의 다각형을 만드는 분할/조합 퍼즐도 있습니다. 물론 새로 생긴 두개의 다각형은 원본 다각형과 모양은 같지만 면적은 절반이 되겠지요. 아래에 그러한 예시를 표시해 보았습니다.

아래 사진에서 가운데 있는 다각형이 원본 다각형이고, 좌우에 있는 다각형이 원본 다각형과 모양이 동일하면서 원본 다각형 면적의 2분의 1인 다각형입니다. 

마지막으로 하나만 더 추가해 본다면 원본 다각형을 분할한 조각들을 가지고서 다른 다각형 하나만 만드는 것에서 더 나아가 또다른 다각형을 만들수 있는 경우도 많습니다.
예를 들어 삼각형을 분할하여 사각형을 만들기도 하고 동일한 조각으로 오각형을 만들기도 하는 것입니다.
대표적인 것 몇개만 보여드리면 아래와 같습니다.  

 

 

 

 

아래의 경우는 동일 조각을 가지고 심지어 4종류의 다각형을 만들 수가 있군요.
참으로 신기할 뿐입니다.

아래는 동일한 조각으로 서로 다른 모양의 4가지 다각형을 구성할 수 있는 또다른 케이스입니다.

이상 위에서 설명한 일반적 분할/조합 퍼즐과는 달리 하나의 원본 다각형을 분할해서 분할된 조각들이 원본 다각형과 닮은 꼴이 되도록 하는 분할/조합 퍼즐도 있더군요.
예를 들면 아래와 같은 유형의 분할/조합 퍼즐이 이에 해당합니다.
아래의 모든 다각형들의 내부 조각을 보면 원본 다각형과 동일한 모습을 띕니다. 
원본 다각형과 모양이 같은 것을 두개만 구성하는 것에서부터 다섯개까지 만든 것도 있네요.
이런 유형의 분할/조합 퍼즐에 대해서만 연구를 하는 사람도 있더군요.

 

 

에궁 퍼즐러갱 여기서 그만 마칠랍니다.
그림 갖다 붙이는 것도 완존 노가다군요.
시간 무지 빼앗는군요.
그래도 재미있습니다. 헤헤헤

(참고: 퍼즐러 갱의 관련 내용 포스트)
1. 정삼각형을 네조각으로 분할한 뒤 정사각형 만들기 (The Haberdasher's Puzzle)
2. 저주받은 정사각형 (The Cursed Square) DIY 체험 퍼즐
3. 정오각형 (펜타곤) 퍼즐 (Pentagon Puzzle)
4. 정오각형을 6개의 조각으로 분할하여 정사각형으로 변환하기 퍼즐
5. 정삼각형을 6개의 조각으로 분할 한 뒤 정사각형 만들기 퍼즐
6. 정삼각형을 7개의 조각으로 분할 한 뒤 정사각형 만들기 퍼즐

 

*아래 화면은 퍼즐러갱이 개설한 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!