기하학적으로 사라지는 퍼즐 (Geometrical Vanishes) 또는 도형 소실 퍼즐 총정리

예전에 포스팅한 '사라지는 퍼즐(Vanish Puzzles) VS 한 사람이 없어진다!' 글에서 제시한 퍼즐의 일부입니다.
즉, '사라지는 퍼즐' 의 한 분야입니다만 기하학적인 도형들을 활용하여 사라지는 퍼즐을 만든 것이라고 해서 특별히 '기하학적으로 사라지는 퍼즐' 이란 표현을 붙여 보았습니다.
그래서 영어로는 기하학적 파라독스 (Geometrical Paradox), 또는 사라지는 영역 파라독스 (Vanishing Area Paradox), 또는 분할 파라독스 (Dissection Paradox), 기하학적 사라짐 (Geometrical Vanishes, Geometrical Vanish Puzzles), 기하학적 침식 (Geometric Erodings) 이라고 합니다.

분할 이론 (Dissection Theory) 의 대가인 Greg Frederickson 교수는 Bamboozlement 라는 표현을 씁니다. Bamboozle 을 영어사전에서 찾아보면 '골탕먹이다, 어리둥절케 하다, 미혹시키다' 라는 뜻을 가진 것으로 나옵니다. 적절한 표현인 것 같습니다.

어떤 표현을 쓰든지 간에 어느 한 도형을 적절히 분할해서 다른 도형으로 만들때 면적이 달라지는 현상을 가리키는 용어들입니다.

예를 들어 설명하는 것이 한결 이해가 편할 것 같습니다.
퍼즐러 갱이 꽤나 많은 시간을 들여 관련 퍼즐들을 조사한 것입니다.
그래서 총정리 라는 제목을 달아보았습니다.

가장 보편화되어있는 흔한 퍼즐부터 보여드리겠습니다.
아래의 퍼즐은 이름하여 '정사각형이 사라지는 퍼즐 (Missing Square Puzzle)' 또는 '삼각형 분할 파라독스 (Triangle Dissection Paradox)' 라고 합니다.

(출처: http://en.wikipedia.org)

위 그림을 자세히 한번 살펴 보시지요.
위에 있는 삼각형을 4개의 조각으로 분할한 뒤에 이것들의 위치를 적절히 바꾸어 보면 아래의 삼각형처럼 한칸이 비는 현상이 발생합니다.
동일한 삼각형 모양 안에서 도형들의 배치만 바꾼 것에 불과한데 우째 이런일이?

마틴 가드너 (Martin Gardner) 에 의하면 위 퍼즐은 뉴욕의 아마추어 마술사인 Paul Curry 가 1953년에 발명했다고 합니다. 
그래서 위 퍼즐을 '커리의 퍼즐 (Curry's Puzzle)' 또는 '커리의 파라독스 (Curry's Paradox)' 라고 부르기도 합니다.
그런데 사실은 1953년에 최초로 나타난 것이 아니고 1860년대에 이미 나타났다고 합니다.
 
아래의 것은 기본적인 커리의 파라독스를 약간 변형시킨 것입니다. 그래서 '커리의 삼각형 (Curry Triangle)' 이라고 부릅니다. 

아래 그림을 유심히 살펴보시면 분명 동일한 6개의 도형 조각을 다시 활용한 것인데, 전과 후의 면적이 다릅니다.
가운데 삼각형의 경우에 왼쪽의 삼각형에 비해 두칸이나 부족하군요. 도대체 두칸은 어디로 사라진 것일까요?
기이할 뿐입니다.
맨 오른쪽의 도형은 맨 왼쪽의 삼각형(면적: 10*12*0.5 = 60)에 비해 면적이 한칸 부족합니다. 면적을 잘 세어보시면 7*9 - 4 = 59 이기 때문이지요.
기묘한 일이 발생한 것입니다.

(출처: http://mathworld.wolfram.com/CurryTriangle.html)

커리의 삼각형 퍼즐은 여러 변형이 있습니다.
그 중에서 좀 특이한 것들을 소개하면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

자 이제 새로운 퍼즐을 보시지요.
'네조각 정사각형 (Four-Piece Square)' 이라는 놈입니다.

분명 동일한 정사각형 안에서 네개의 조각을 움직였을 뿐인데, 한 가운데의 구멍은 어떻게 생긴 것일까요?
한번 연구해 보시지요.
이 퍼즐도 인터넷 사이트에서 대표적으로 언급되고 있는 퍼즐입니다.

(출처: http://en.wikipedia.org)

자 아래의 퍼즐 또한 매우 보편적으로 언급되고 있는 매우 유명한 퍼즐입니다.

아래 그림에서는 면적을 친절하게도 적어놓았습니다.
마찬가지로 동일한 조각들을 활용한 것들입니다.
정사각형의 면적이 늘어나기도 하고 줄어들기도 합니다.
귀신이 곡할 노릇입니다.

(출처: http://en.wikipedia.org)

위 퍼즐은 '샘 로이드의 파라독스 분할 (Sam Loyd's Paradoxical Dissection)' 이라고 합니다.
즉, 샘 로이드가 발표한 것입니다.
마틴 가드너 또한 샘 로이드가 최초로 발표했다고 했습니다.

그러나 Greg Frederickson 에 의하면 Walter Dexter 가 1901년에 최초로 발견했다고 합니다. 이는 샘 로이드가 발표하기 이전입니다.

위 퍼즐은 샘 로이드의 파라독스 분할 이라는 이름 말고도 아주 다양하게 불립니다.
Fibonacci Bamboozlement, A Faulty Dissection, Chessboard Paradox, Dissection Fallacy 라고도 합니다.

자 다른 퍼즐로 넘어갑니다요.
아래의 퍼은 위의 퍼즐과 유사하면서도 약간 다른 것입니다.
'후퍼의 파라독스 (Hooper's Paradox)' 라고 하는 것으로서 윌리엄 후퍼 (William Hooper) 가 1794년 Rational Recreations 라는 책에서 제시했다고 합니다. 상당히 오래된 역사를 지니고 있죠?
그런데 이 책은 20년 전인 1774년에 초판이 발행되었는데, 여기에서는 오류가 있었다고 합니다. 그런데 이 오류는 프랑스의 Edmé Gilles Guyot 가 1769년에 쓴 Nouvelles récréations physiques et mathématiques 에 나오는 내용과 동일하다고 합니다. 물론 Guyot 는 이 오류를 2판에서 수정을 합니다. Hooper 의 초판이 나오기 전에 말이죠.
결론적으로는 Hooper 가 표절을 한 것이 아닌가 하는 의문이 드는 상황입니다. 그런데 표절을 한 내용이 이미 수정되기 전의 잘못된 내용을 표절한 것이죠. 참 아이러니한 상황입니다.

위에서 보시면 윗 그림에서는 10*3 = 30 이었던 것이 아래 그림에서는 10*2 + 3*4 = 32 가 됩니다. 신기하죠?

아래는 Langman's Paradox 라는 것입니다. Harry Langman 박사가 발견한 것이라고 합니다.분명 동일한 네개의 조각을 이용해서 다르게 배열했을 뿐인데 면적이 104에서 105로 바뀝니다.
귀신이 곡할 노릇입니다.

아래 퍼즐은 John Sharp's Paradox 라는 것입니다. 커리, 후퍼, 랑만, 샘 로이드 의 퍼즐과 유사한 듯 하면서도 약간 다른 것입니다.
13*13 = 169 이었던 것이 8*21 = 168 로 바뀝니다. 한칸은 어디로 사라진 것일까요?

자 또다른 퍼즐로 넘어갑니다요.
아래 그림을 보시면 맨 왼쪽은 10*13 = 130 이었던 것이 8*8 두개로 나뉘어집니다. 즉, 8*8 + 8*8 = 128 로 바뀝니다. 130 칸이던 것이 64+64 = 128 칸으로 줄어든 것입니다. 두칸은 도대체 어디로 사라진 것일까요?
이것의 정식 이름은 잘 모르겠고 걍 Dissection of a Rectangle into Two Chessboards 라고 되어 있네요.

(출처: http://www.cut-the-knot.org)

아래의 것은 단순합니다. 그러나 신기합니다.
유래나 이름에 대해서는 모르겠습니다.
지그재그로 나누어진 두개의 조각 중 왼쪽 위의 조각을 한계단만 우측으로 위로 올리면 99 칸이었던 것이 100 칸이 됩니다. 새로운 한칸은 어디에서 나타난 것일까요?
반대로 다시 내리면 한칸이 사라지겠죠?
(출처: www.cut-the-knot.org)

아래의 퍼즐은 The Eleven Holes Puzzle 이라는 것입니다.
출처는 http://www.slideshare.net/sualeh/the-eleven-holes-puzzle 입니다.
커리의 파라독스에 기반해서 좀더 확장해 본 것이라고 제작자인 Tofique Fatehi 는 말합니다.
조각 수가 다른 퍼즐들에 비해서 상당히 많습니다.
대신 좀더 변화무쌍한 모습을 발견할 수 있습니다.
총 59개의 조각으로 구성되어 있습니다.
여기에는 크기가 다른 5개의 삼각형, 24개의 동일한 도형 조각과 30개의 또다른 동일한 도형 조각이 있습니다.
이 59개의 조각을 가지고서 한칸이 사라지는 것에서부터, 총 11칸이 사라지는 것을 만들 수 있습니다.
그래서 이름도 11개의 홀 퍼즐 (The Eleven Holes Puzzle) 이라고 지었습니다.
아래 그림중에서 맨 첫번째의 것이 퍼즐을 시작하기 전의 스타팅 포인트입니다.
진한 실선을 따라 잘라서 총 59개의 조각을 만든 뒤에 2번째 그림에서부터 제시하는 것처럼 차례차례 구멍이 생기도록 만드는 것이 미션입니다.
조각 수가 상대적으로 많기 때문에 어렵기는 하지만 역시 기묘한 현상을 볼 수 있어 이것도 나름 신기합니다.

아래에서는 해법입니다.

 

 

 

 

 

 

아래의 것은 전형적인 칠교놀이를 응용한 것입니다. 이름하여 탱그러매직 (Tangramagic) 이라고 합니다. 칠교놀이의 Tangram 에다가 마술의 Magic 을 합성한 신조어이군요. 이름 참 맛갈나게 지은 것 같습니다.
디자이너는 Gianni Sarcone 입니다.
이쯤 되면 출처는 어디인 줄 알겠지요?
출처는 바로 아르키메데스 연구소 (http://www.archimedes-lab.org) 입니다.

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

위 그림에서 알 수 있듯이 칠교판에다 기역자 모양의 두개의 조각을 추가한 퍼즐입니다.
칠교놀이처럼 이 조각들을 활용해서 다양한 모양을 만드는 것을 미션으로 하는 퍼즐이 아닙니다. 엄연히 기하학적으로 사라지는 퍼즐 종류의 퍼즐입니다.

위 그림에서는 이후와 이전의 순으로 되어 있군요.
즉, 조그만 정사각형 조각만 홀로 떨어져 있는 상태에서 꽉 채워져 있는 것에서 출발하여 네모난 조각 하나를 그 테두리 안에 넣는 것으로 되어 있습니다.
물론 기본 바탕 판의 넓이는 동일합니다.

그런데 퍼즐러 갱은 순서를 바꾸어 보았습니다. 머 어떤 방식으로 하든 상관없지만서두요.^^

아래의 퍼즐 또한 아르키메데스 연구소로부터 퍼온 것입니다.
이름하여 쿠아드릭스 (Quadrix) 라고 합니다. 총 4종이 있습니다.

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

위 4개의 퍼즐 모두 동일한 판에다 요령껏 조각들을 조합해서 재배치하면 조그만 정사각형만큼의 공간이 새로 생기는 현상이 발생합니다.
아래 그림처럼 말이죠.

 

 

위 쿠아드릭스 퍼즐 (Quadrix Puzzle) 의 디자이너는 Gianni Sarcone 입니다.
그림 출처 또한 아르키메데스 연구소 (http://www.archimedes-lab.org) 이구요.

아래의 퍼즐 또한 Gianni Sarcone 가 디자인한 것으로서 Circea's Puzzle 이라고 합니다.

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

위 그림에서 보시는 것처럼 12*12 = 144 의 정사각형을 8개의 직각삼각형으로 분할한 뒤에 다시 정사각형을 만들어 보는 퍼즐입니다.
아래 그림에서처럼 첫번째 두개의 정사각형은 제대로 만들 수 있습니다.
그런데 세번째와 네번째 도형은 정사각형이 아니군요. 조금 삐져 나오는 현상이 발생합니다. 분명 12*12 = 144 의 판에다 원래의 8 조각의 직각삼각형을 옮겼을 뿐인데 말이죠.
우째 이런 현상이 발생했는지 어안이 벙벙해질 뿐입니다.

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

아래의 퍼즐 또한 Gianni Sarcone 작품으로서 Paradoxical Missing Square Puzzle 이라고 합니다.

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

다시 한번 강조하여 말씀드리지만 기본 바탕 판은 동일한 넓이이며, 좌우에 사용된 조각 또한 동일한 것입니다.
조그만 정사각형 조각은 도대체 왜 사라졌다 나타났다 하는 것일까요?

위의 퍼즐과 유사하지만 엄연히 다른 퍼즐입니다. 마틴 가드너 (Martin Gardner) 가 디자인한 것입니다. 사실 위의 퍼즐보다 시기적으로 앞섭니다.

(출처: http://www.twistypuzzles.com)

(출처: http://www.twistypuzzles.com)

 

아래의 퍼즐은 아인쉬타인이 직접 쓴 취리히 노트 (Einstein's Zurich Notebook) 에 나오는 내용입니다. 온갖 어려운 수학 기호와 공식으로 가득차 있는 노트입니다만 그중 유독 아래의 것은 도형을 그린 것입니다. 아인쉬타인도 퍼즐을 즐긴 것일까요?
바로 아래 사진이 그 원본입니다.

(출처: http://www.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/Zurich_Notebook/index.html)

 

이 노트 필기를 정확히 다시 그려본 것이 아래 그림입니다.
8*8 = 64 이던 것이 어떻게 13*5 = 65 가 되었을까요?
아인쉬타인은 이것의 비밀을 과연 알고 있었을까요? 아니면 정말로 궁금해서 그저 적어놓은 것에 불과한 것일까요?

(출처: http://www.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/Zurich_Notebook/index.html)

 

(출처: http://www.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/Zurich_Notebook/index.html)

 

위 그림에서 배경에 희미하게 보이는 것은 원본 필사본을 표시한 것입니다.

아래의 퍼즐은 '파라독스 홀 퍼즐 (The Paradoxcial Hole Puzzle)' 이라는 것입니다. 아주 심플합니다. 구멍이 만들어지는 과정도 정확히 보여주고 있습니다.

(출처: http://plus.maths.org/content/visual-curiosities-and-mathematical-paradoxes)

 

아래의 퍼즐은 샘로이드의 체커보드 분할 퍼즐과 유사하지만 다른 퍼즐입니다.

 

아래의 퍼즐은 그림이 그려져 있으며, 달걀이 하나 사라지는 것처럼 보이지만 실상은 '기하학적으로 사라지는 퍼즐'이랍니다.
기하학적으로 사라지는 퍼즐의 속성에다가 그림을 그려 넣음으로 해서 한결 더 극적인 효과를 보이는 참신한 퍼즐입니다.
사라진 계란은 도대체 어디로 간 것일까요? 누가 훔쳐갔을까요?
그리고 새로 생긴 마름모꼴 도형은 도대체 어디에서 나타난 것일까요?
역시 누가 디자인했는지는 바로 알 수 있겠지요? 예 그렇습니다. Gianni Sarcone 입니다.
퍼즐 이름은 Magic Hen 입니다. '마법의 닭' 이라고나 할까요?

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

아래 사진은 유튜브에서 퍼온 사진입니다.
이름은 잘 모르겠으나 여전히 신기할 뿐입니다.

 

 

아래 사진 또한 유튜브에서 퍼온 사진입니다.
이름은 '매직 스퀘어 (Magic Square)' 입니다. 여기서의 매직 스퀘어는 마방진이라기 보다는 '마법같은 정사각형' 정도로 해석하면 될 듯 쉽습니다. 기본적으로 폴 커리 (Paul Curry) 의 파라독스와 동일한 기본 구조를 지니고 있다고 할 수 있겠습니다.
여전히 신기할 뿐입니다.

 

 

위 사진보다 선명하게 제시하고 있는 그림이 있어 참고로 제시해 봅니다.

(출처: www.puzzles.com)

 

아래는 사진으로 표시하기가 애매해서 그냥 유튜브 동영상 링크를 걸어봅니다.
시간이 좀 길기는 하지만 기하학적으로 사라지는 퍼즐을 주제로 공연을 하는 것으로서 위에서 언급되지 않은 새로운 퍼즐입니다.
한번 감상해 보시기 바랍니다.

지금까지는 평면에서 이루어지는 것이었다고 하면 아래의 것은 3D 입체에서 이루어지는 퍼즐입니다.
저자는 Gianni Sarcone 입니다. 퍼즐 이름은 Paradoxopiped Puzzle 이구요.
가운데 사진을 보시면 상자의 총 부피는 3.6*6.4*4.8 = 110.592 입니다.
그리고 각 조각들의 부피를 모두 더해 보면 110.592+ 4.0896 = 114.6816 입니다.
정확히 10번 조각만큼 그 부피가 차이가 납니다.
부피가 114.6816 인 조각들이 어떻게 부피가 110.592 로서 더 작은 상자 안으로 다 들어갈 수가 있을까요?

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

이상은 개념적인 도해를 가지고서 예시를 보여드렸습니다.
이제는 이러한 개념적인 도해가 실물의 퍼즐로 탄생한 것을 보여드립니다.

(출처: www.youtube.com)

(출처: www.youtube.com)

 

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

 

(출처: http://www.archimedes-lab.org)

 

아래의 사진 중 가운데의 퍼즐은 위에서 입체 퍼즐로 소개한 Paradoxopiped Puzzle 입니다.
아래 3장의 사진 출처는 Rob's Puzzle Page, http://home.comcast.net/~stegmann/allother.htm#vanish 입니다.

 

 

(출처: The Jerry Slocum Mechanical Puzzle Collection Site, http://webapp1.dlib.indiana.edu/images/splash.htm?scope=lilly/slocum)

 

(출처: The Jerry Slocum Mechanical Puzzle Collection Site, http://webapp1.dlib.indiana.edu/images/splash.htm?scope=lilly/slocum)

 

(출처: http://www.mypuzzles.xtreemhost.com/Missing_Square.html)

 

(출처: http://www.mypuzzles.xtreemhost.com/Missing_Square.html)

 

이상의 현상들에 공통적으로 적용되는 것은 피보나치 수열 (Fibonacci Numbers) 의 원리라고 합니다.
피보나치 수열은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 입니다.
뒤에 무슨 숫자가 오는지 대충 짐작이 되지요?
피보나치 수열은 황금률 (Golden Ratio) 에도 적용되는 아주 중요한 수학적 개념이라고 하는군요.

이상의 내용들은 사실 기괴한 초자연적 현상은 아닙니다.
인터넷 사이트를 조금만 뒤져보면 그 이유와 해답들이 제시됩니다.
여기에서는 굳이 그 해법을 제시하지는 않겠습니다.

대신 인터넷 사이트를 통해 해답을 참조하기 전에 스스로 그 원인을 한번 파악해 보시지요. 유심히 관찰해보고, 뭔가 좀 이상한 측면을 발견할 수 있습니다.
꼼꼼하게 자신만의 논리를 세워서 추론해 보면 의외로 답은 쉽게 나올 수도 있습니다.
나름 재미있답니다.
성취감도 있구요.

어찌 보면 'To see is to believe.' 라는 말이 틀린 것이 되기도 합니다.
눈에 보이는 것만이 진실은 아니거든요.

*맨 윗부분에서 첫번째로 소개한 삼각형 분할 파라독스 퍼즐에 대해 실물을 보시고 그 원리와 이유를 확인하고 싶으신 분은 아래 썸네일을 클릭/터치해 보십시오. 

퍼즐러갱이 유튜브에 업로드한 영상의 썸네일입니다.

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근사한 퍼즐박물관 설립을 꿈으로 가지고 있는 퍼즐러개 갱에게 구독과 좋아요는 큰 힘이 됩니다.

감사합니다. 꾸벅~~!!

PS.
이상은 현재 퍼즐러 갱이 알고 있는 기하학적으로 사라지는 퍼즐들이었습니다.
앞으로 새로운 퍼즐을 접하게 되면 계속적으로 업데이트하도록 하겠습니다~~~~

 

오늘도 해피 퍼즐링~~