펜토미노(Pentomino)는 우리 생활 주변에서 쉽게 구할 수 있습니다. 유치원생이나 초등학생을 둔 가정이라면 대부분 집에 한개쯤은 있을 것으로 생각합니다.
문방구에서도 쉽게 볼 수 있구요. 그런데 이 펜토미노에 얽힌 뒷 이야기가 꽤나 되더군요.
이번 포스트에서 한번 정리해 봅니다.

 

펜토미노란?
펜토미노(Pentomino)는 동일한 정사각형 5개를 연결하여 만든 도형입니다. 회전시킨 것이나 거울에 반사시킨 대칭 모양을 무시하면 순수하게 총 12가지의 펜토미노가 있습니다.

아래 그림에 나와 있는 것이 이 세상에 존재하는 펜토미노 전부입니다.^^

 

거울에 비추었을 때의 좌우대칭 모습을 포함하면 총 18개가 됩니다. F, L, N, P, Y, Z가 좌우대칭인 모습이 아니기 때문에 이 6개가 더해진 것입니다. I, T, U, V, W, X는 그 자체가 좌우대칭인 모습이구요.

회전시킨 모습까지 포함하면 총 63개가 된다고 하는군요.

펜토미노 퍼즐을 가지고 노는 방법은 12개의 펜토미노 조각들을 일정한 보드위에 겹치거나 빈 공간이 없도록 하면서 배치하는 것입니다. 이때 6*10 보드처럼 딱 맞게 할 수도 있고, 8*8 단위의 보드에서 임의로 4칸을 제외시키고 나머지 영역을 채우게 하는 것 등 매우 다양한 놀이 방법이 있습니다.

우리가 주변에서 흔히 볼 수 있는 일반적인 펜토미노 퍼즐은 8*8 단위의 보드, 2*2 단위의 정사각형(테트로미노), 12개의 펜토미노로 구성됩니다. (위 두 장의 사진처럼 말이죠) 

펜토미노의 역사
펜토미노가 역사상 맨 처음 문헌상으로 등장하는 것은 1907년에 출간된 헨리 듀드니(Henry Dudney)의 '캔터베리 퍼즐(The Canterbury Puzzles)'이라는 책이라고 합니다.
듀드니는 8*8 보드에서 4개의 칸으로 이루어진 2*2 정사각형(테트로미노) 1개와 12개의 펜토미노를 가지고서 8*8 보드를 겹치거나 빈 공백 없이 채운 해답을 제시했다고 합니다.

그리고 책에서는 다음과 같은 이야기를 서술하고 있다고 하는군요. 스토리텔링 기법을 적용하여 펜토미노를 재미있게 전달하려고 한 것 같습니다.

'영국의 정복왕 윌리엄 1세의 아들과 프랑스의 황태자가 체스 게임을 하고 있었다. 프랑스의 황태자가 체스 게임에서 지자 홧김에 체스판을 상대방에게 던져버렸다. 윌리엄 1세의 아들도 흥분하여 황태자의 머리를 그 체스판으로 내리쳐 체스판을 깨뜨리는 보복을 했다. 이 때 체스판이 13개의 조각(12개의 펜토미노 조각과 1개의 테트로미노)으로 쪼개어졌다.'

펜토미노라는 말은 미국의 솔로몬 골롬(Solomon Golomb) 교수가 최초로 만들었습니다. 그리스어의 5를 뜻하는 펜토(Pento)라는 말을 이용하여 표현을 만든 것입니다. 1953년 하버드 수학 클럽(Harvard Mathematics Club) 강의 시간에 이 용어를 처음 사용한 이후 1965년에 '폴리오미노(Polyominoes)'라는 책을 발간하고 이 책에서 펜토미노라는 말을 공식적으로 사용하기 시작했습니다.

그리고 그는 12개의 펜토미노가 알파벳 모양과 유사한 것에서 힌트를 얻어 각각의 12개 펜토미노에 알파벳 이름을 붙였습니다.

John Horton Conway는 원작자인 솔로몬 골롬 교수의 알파벳 명명법과는 다른 명명법을 사용합니다. 기본 알파벳 모양과는 다른 알파벳 이름을 붙인 것이 흠이라면 흠이지만 그래도 O부터 시작하여 Z까지 일련 알파벳으로 재구성된다는 장점도 있습니다.

위 그림을 보면 각각의 펜토미노에 알파벳이 적혀 있습니다. 이 알파벳이 각 펜토미노의 이름인 것입니다.
위에 있는 것이 솔로몬 골롬이 붙인 알파벳 이름이고
아래에 있는 것이 존 콘웨이가 붙인 알파벳 이름입니다.

존 콘웨이는 솔로몬 골롬의 명명법에서 I를 O로, L을 Q로, F를 R로, N을 S로 바꾼 것입니다. Q, R, S는 그래도 봐줄만한데 O는 영 안어울립니다. 그러나 O부터 시작해서 Z까지 쭉 연결된 알파벳 이름이라는 점에서 봐줄만 합니다.^^

펜토미노의 교육적 효과
펜토미노는 상당히 강력한 교육적 효과를 지니고 있습니다.
- 펜토미노는 기본적으로 도형 이미지이기 때문에 기하학 도형에 대한 이해를 높여준다.
- 실물의 조각을 만지고 놀기 때문에 재미가 있어서 흥미를 유발하고 스스로 생각하게 만든다. 
- 수학적 사고력과 논리력을 배양한다.
- 일정한 문제를 풀기 위한 집중력 향상과 정서적 안정감을 높여준다.
- 일정한 목표를 달성하기 위한 끈기와 도전의식을 향상시켜 준다.
- 평면 및 공간에 대한 지각력과 시각적 통찰력을 높여준다.
- 스스로 자신만의 모양을 만들어 낼 수 있기 때문에 창의력을 향상시켜 준다.

 

펜토미노 퍼즐 예
모든 12개의 펜토미노를 겹치거나 빈 공백이 없도록 하면서 큰 직사각형에 채워넣는 것이 주된 미션입니다. 하나의 펜토미노가 5 단위이므로 큰 직사각형의 단위는 5*12=60 이 되어야 하겠지요.

60이 나오는 직사각형에는 1*60, 2*30, 3*20, 4*15, 5*12, 6*10의 여섯가지 유형이 있습니다.
그러나 이 중에서 1*60, 2*30 유형에는 모든 펜토미노를 놓을 수가 없습니다.
X 펜토미노의 경우에는 어느 방향으로든지 3개의 단위가 필요하기 때문입니다.
따라서 최소 단위가 3 이상으로 시작되는 경우인 3*20, 4*15, 5*12, 6*10의 4가지 유형의 직사각형에 12개의 펜토미노를 이용하여 채워넣는 것이 미션이라고 할 수 있습니다.

아래의 그림은 각 사이즈에 대한 해답을 보여드립니다.

그런데 각 사이즈에 대한 해답은 위 그림만 있는 것이 아니랍니다.

6*10의 경우는 2,339개의 해법이,
5*12의 경우는 1,010개의 해법이,
4*15의 경우는 368개의 해법이,
3*20의 경우는 2개의 해법이 존재한다고 합니다.

참고로 6*10 직사각형을 최초로 완성한 사람은 콜린 브라이언(Colin Brian)과 제니퍼 하셀그로브(Jenifer Haselgrove)입니다. 1960년에 풀었다고 합니다.

6*10에 대한 해답을 추가로 제시해 봅니다.

3*20의 경우 나머지 한 방법은 위 해법에서 L, N, F, T, W, Y, Z가 구성하는 블럭을 회전시키면 됩니다.
한번 만들어 보시기 바랍니다.

위의 변형으로서는 8*8 단위의 정사각형에서 맨 가운데의 4개 칸을 제외하고 채워넣는 것도 있습니다.
앞에서 이미 언급했듯이 헨리 듀드니는 이것에 대한 해답을 이미 1907년에 하나 제시했습니다.
그러나 나머지 해법에 대해서는 언급이 없었지요.
그런데 1958년에 다나 스콧(Dana Scott)이 모든 가능한 솔루션을 최초로 완성했다고 합니다.
이 경우의 총 해법은 65가지가 있다고 합니다.

이중 몇가지만 가져와보면 아래와 같습니다. 

 

펜토미노 보드 게임(Pentomino Board Game)
8*8 단위의 보드판 위에 12개의 펜토미노를 두 명 또는 세 명이 번갈아가면서 올리다가 맨 마지막에 펜토미노 조각을 올리는 사람이 승리하는 게임입니다(역으로 해석하면 남는 공간에 펜토미노를 더이상 옮겨 놓지 못하는 사람이 지는 것이 됨).
물론 겹치게 놓거나 보드판 경계를 넘어서 놓으면 안됩니다. 그렇다고 해서 이미 놓여 있는 펜토미노와 반드시 인접해서 놓을 필요는 없습니다.
재미있는 사실은 이 게임은 펜토미노를 최소 5번, 최대 12번 놓으면 끝나게 된다고 합니다. 그리고 이 게임의 이름을 '골롬 게임(Golomb's Game)'이라고도 합니다.

두 사람이 하는 경우에 대한 것을 연구한 사람이 있는데 1996년에 힐러리 오만(Hilarie Orman)이 220억 가지의 보드 포지션을 검사한 결과 첫번째 플레이어가 이기는 것을 증명했습니다.(두 명이 모두 최선의 수를 둔다고 가정한 것입니다. 오해 마세요~~)

이와 비슷한 문제가 있는데 그것은 m*n 크기의 보드에서 더 이상 펜토미노를 놓을 수 없는 형태를 만드는데 필요한 가장 작은 수의 펜토미노 개수를 구하는 것입니다.
예를 들어 6*6과 7*7 크기의 보드에서 최소 개수의 펜토미노로 이루어진 형태는 아래와 같습니다. 

위 그림의 상태가 되면 나머지 펜토미노 조각중 그 어떤 하나도 위 보드판 위에 더이상 올릴 수가 없게 됩니다.
한번 확인해 보기 바랍니다.

6*6의 경우에는 3개, 7*7의 경우에는 4개임을 알 수 있습니다.

 

거인 쌍둥이 펜토미노 만들기(3/1 Scale Models)
12 개의 펜토미노 조각들 각각은 자기를 뺀 나머지 조각 중 9개를 가지고서 자신보다 3배가 큰 거인 쌍둥이 펜토미노를 만들 수 있다고 합니다.(좀더 정확히 표현하면 가로 세로가 3배가 되는 것이며, 면적으로는 9배가 되겠지요.)

V와 F 펜토미노를 예를 들면 아래와 같은 모양을 만드는 것입니다.
오른쪽 부분의 큰 보드 안에 자기 자신을 뺀 나머지 펜토미노 조각 중에서 9개를 이용하여 겹치거나 빈 공간이 없게 하면서 보드를 꽉 채우면 미션 성공입니다.

 

N 펜토미노에 대한 해답을 보여드립니다.

 

나머지 펜토미노에 대해서는 여러분들 스스로 한번 해보시죠~~

 

펜토미노로 만들 수 있는 다양한 모양
12개의 펜토미노 조각을 이용하여 만들 수 있는 도형에는 상당히 많은 종류가 있습니다. 아래와 같은 모양들이 12개의 펜토미노 조각을 이용하여 만들 수 있는 모양들의 예시입니다.
한결같이 작은 정사각형 수는 모두 60개임을 알 수 있을 것입니다.

 

 

위 그림은 주로 다각형 모양을 하고 있지만 아래와 같이 사람, 동물 기타 모양 등을 만들 수 있습니다.

위 그림을 보면 기하학적 도형 말고도 펭긴, 강아지, 닭, 새, 돼지, 사람, 낙타, 캥거루 등 다양한 모양이 나오는 것을 알 수 있습니다.

즐러갱이 우연히 접한 사이트에서는 아래와 같은 사슴과 고양이 모양도 만들 수 있다고 나오더군요. 퍼즐러갱 시간 내서 직접 한번 그려 보았습니다. 박수좀 쳐주세요~~

 

 

 

참고로 위 퍼즐에 대한 힌트를 드리면 아래와 같습니다. 

 

 

 

체커보드(Checkerboards)
8*8 단위의 정사각형 판에서 4개의 칸을 제외하면 60칸이 됩니다. 그리고 12개의 펜토미노 총 단위는 12개*5=60 이므로 아래와 같은 모양의 체커보드를 만들 수 있을 것입니다.
이런 유형의 놀이를 펜토미노 체커보드 게임이라고 합니다.

 

13홀 문제(13 Holes Problem)
12개의 펜토미노를 이용하여 일정한 도형을 만들면서 안쪽에 구멍이 최대한 많이 나오도록 하는 문제입니다. 안쪽에 생기는 구멍은 정사각형 하나씩이어야 하며 이것들이 서로 떨어져 있어야 합니다.
즉 바로 위 그림에서 왼쪽 아래와 같은 모습을 띠면 안된다는 의미입니다. 위의 세개와 오른쪽 아래처럼 구멍이 생성되어야 한다는 의미입니다.

이 문제에 대한 해답으로서 현재 13개가 최대라고 합니다. 14개 이상의 구멍은 만들 수 없다는 것이 증명되었다고 하는군요.

구멍이 13개 나오는 경우는 딱 2가지뿐이며 그 중의 하나를 보여드리면 아래와 같습니다.

이 그림은 펜토미노로 만들 수 있는 다양한 모양에서 다른 모양들과 함께 묻혀서 이미 제시된 바 있습니다.
나름 상당한 의미를 지니는 모양이라고 할 수 있겠죠. 

 

입체 모형 펜토미노 만들기
12개의 펜토미노를 모두 사용하여 입체 모형 펜토미노를 만들 수 있습니다.
아래와 같은 다양한 입체 모형이 가능하다고 합니다.

 

 

위 사진을 자세히 살펴보면 평면의 원 펜토미노를 3층으로 구성하여 입체화 시킨 것을 알 수 있습니다.
총 10가지로서 W와 X는 현재까지 이러한 입체 모형으로 만드는 방법이 나오지 않고 있다고 합니다. 
혹시 관심이 있고 시간이 있으신 분은 도전해 보기 바랍니다. 
W와 X를 만들어낸다면 아마도 세계가 주목할 것입니다.

위 입체 모형을 만들 수 있는 가지수는 다음과 같습니다.

P: 1,082
L: 99
N: 51
Z: 24
V: 21
I: 12
U: 10
Y: 7
T: 3
F: 1
W: 0
X: 0

해법의 수가 적다는 것은 그만큼 만들기가 어렵다는 말이 되겠지요. 따라서 집에 펜토미노가 있다면 P 모양부터 차근차근 만들어 보는 것이 좋을 것입니다.

위에서 제시한 모양 이외에도 아래와 같은 다양한 입체 모형을 만들 수 있습니다.

 

위 그림에서 피라미드는 11개의 펜토미노를 사용하여 만든것이라고 합니다. 사용되지 않는 펜토미노는 T 또는 X이구요.
나머지는 모두 12개의 펜토미노를 모두 사용한 것이라고 합니다.

자 지금까지 제시한 입체 모양 중에서 직육면체에 해당하는 것은 몇가지일까요?
그렇습니다. 총 3가지입니다.
펜타미노는 12개*5단위이므로 총 60단위를 지닙니다.
총 60단위가 나오는 직육면체는,
1. 3*10 평면이 2개 있는 경우,
2. 5*6 평면이 2개 있는 경우,
3. 3*5 평면이 4개 있는 경우가 있습니다.

이런 직육면체를 이루는 방법을 그림으로 표시하면 아래와 같습니다.

 

물론 위 그림만이 유일한 해법은 아닙니다.

1의 경우 솔루션은 총 12개가 있다고 합니다.
2의 경우 솔루션은 총 264개가 있다고 합니다.
3의 경우 솔루션은 총 3940개가 있다고 합니다.

 

펜토미노 농장(Pentomino Farm)
12개의 펜토미노 조각으로 바깥쪽에 울타리를 만들면서 안쪽에는 빈 공간이 나오도록 만드는 것이 미션인 게임입니다. 안쪽의 비어있는 공간이 일종의 농장인 셈이죠. 울타리는 서로 연결되어 있어야 합니다. 이렇게 함으로써 농장의 크기를 최대화하는 것이 이 게임의 미션입니다.
혼자서도 즐길 수 있으며,
둘이서 시합을 할 수도 있을 것 같습니다.

이 게임에는 4가지 종류가 있습니다.
1. 울타리와 농장이 모두 직사각형
2. 울타리는 직사각형, 농장은 자유형
3. 울타리는 자유형, 농장은 직사각형
4, 울타리와 농장 모두 자유형

1번에 대한 해답을 제시하면 아래와 같습니다. 아래 해법은 1번 문제에 대한 해답 중에서 농장의 면적이 최대인 것이라고 합니다.

 

*참고
정사각형 1개: 모노미노(Monomino) --> 1개
정사각형 2개: 도미노(Domino) --> 1개
정사각형 3개: 트로미노(Tromino) --> 2개
정사각형 4개: 테트로미노(Tetromino) --> 5개
정사각형 5개: 펜토미노(Pentomino) --> 12개
정사각형 6개: 헥소미노(Hexomino) --> 35개
정사각형 7개: 헵토미노(Heptomino) --> 108개
정사각형 8개: 옥토미노(Octomino) --> 369개

9개: 나노미노(Nanomino) --> 개

10개: 데코미노(Decomino) --> 개

여기서 트로미노를 어떤 사람들은 트리미노 또는 트리오미노라고 말하지만 이것은 엄연히 잘못된 표현입니다. 트리미노는 영어에 아예 없는 표현이고, 트리오미노(Triomino)는 아래 사진처럼 삼각형을 이어붙여서 노는 게임의 이름입니다.
아래 사진을 유심히 살펴보면 알 수 있지만 인접한 삼각형들은 숫자가 서로 동일한 부분끼리 붙어 있음을 알 수 있습니다.

또 어떤 사람들은 테트미노 혹은 테트라미노라고 하지만 이것 역시 틀린 표현으로서 테트로미노가 올바른 표현입니다.
또 어떠 사람들은 헥사미노라고 하지만 이것 역시 틀린 표현으로서 헥소미노가 올바른 표현입니다.

이상 펜토미노에 관한 내용을 현재 퍼즐러갱이 알고 있는 내용을 총정리해 보았습니다.
앞으로도 새로운 내용을 접할 경우 지속적으로 업데이트해볼 계획입니다.

오늘도 해피 퍼즐링~~

 

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Posted by 퍼즐러 갱

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  1. paul 2017.04.30 19:14 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    펜토미노 농장 3번(울타리는 자유형, 농장은 직사각형)에 대한 해답이 어떻게 될까요?

  2. Eric 2017.07.31 18:25 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요. 펜토미노 8*8에서 기본 12개 블럭으로 회전 안 시키고, 원래 모양으로는 해가 몇 개가 되나요? 테트로미노는 정 중앙이 아니라 자유롭게 넣고요. 그리고, 회전시킬 때, 테트로미노를 자유롭게하면 해법이 몇 개인지도 알려 주실 수 있나요?

    • 퍼즐러 갱 2017.08.01 08:53 신고  댓글주소  수정/삭제

      에고. 제가 펜토미노 전문가가 아니어서시리....저도 구글링을 통해서 자료를 모으고 포스팅한 것뿐이랍니다.
      Eric님도 구글링을 해보시지요.
      답을 제시하지 못해서 미안합니다~~~~.