공명쇄(孔明鎖, Burr) 뒷 이야기

공명쇄는 영어로 하면 Six Piece Burr(6조각 버)입니다.
다른 용어로는 중국 퍼즐(The Chinese Puzzle), 중국 십자가(The Chinese Cross), 몰타 십자가(The Maltese Cross), 잭 퍼즐(The Jack Puzzle), 퍼즐 매듭(Puzzle Knot), 악마의 매듭(Devil's Knot), 루반 자물쇠(Lock of Luban, 魯班鎖, 노반쇄), 공명 자물쇠(Lock of Kongming, 孔明鎖) 라고도 불리구요.
이상에서 알 수 있듯이 한자 문화권인 우리나라에서는 공명쇄라 불리구요.

(영어의 Burr라는 용어는 에드윈 와이엇트(Edwin Wyatt)가 저술한 1928년의 'Puzzles in Wood'라는 책에서 최초로 사용되었다고 추정합니다. 또한 이 용어는 식물 중에서 열매나 열매의 껍질이 옷이나 몸에 딱 달라붙는 것(Clinging Burr)과 공명쇄의 모습이 유사한 것에서 유래한 것이 아닐까 많은 사람들이 추측하고 있습니다.)

많은 사람들이 공명쇄에 대해서 연구하였지만, 1975년에 빌 커틀러(Bill Cutler)와 아써 크로스(Arthur Cross)가 공명쇄에 관한 전반적인 분석(Comprehensive Analysis)을 실질적으로 완성 마무리합니다.
빌 커틀러에 대해서는 예전에 세계의 퍼즐러들 코너에 올린 '버(Burr)하면 떠오르는 빌 커틀러(Bill Cutler)를 소개합니다.' 글을 참조하시기 바랍니다.

공명쇄의 모양을 보면 참으로 다양합니다.
아래는 가장 일반적인 모양의 공명쇄 사진입니다.

그러나 이러한 기본적인 공명쇄 모양은 아래 사진 속의 공명쇄와 같이 다양한 모습으로 진화 발전하게 됩니다.

위 사진 속 공명쇄들은 나뭇조각의 끝부분만 살짝 기교를 주어 변화를 준 것 뿐입니다.
그러나 아래의 사진들을 보시면 그 진화와 변화 정도는 상상을 초월할 정도입니다.

아래 사진 속 공명쇄는 몽고의 국제 지성 박물관(International Intellectual Museum)의 투먼 을지(Tumen Uljii)가 제작한 공명쇄입니다.
공명쇄를 구성하는 나뭇조각에 형형색색의 기교를 부린 것이 돋보입니다. 나뭇조각을 새롭게 디자인한 점과 나뭇조각에 독특한 색상으로 페인트칠을 한 점이 새롭습니다.

아래는 몽고의 현지 동물을 형상화해서 만들었다는 공명쇄입니다. 공명쇄 전체가 한마리의 동물이 되기도 하고, 공명쇄 구성하는 각 나뭇조각 자체가 한마리의 동물이 되기도 하는군요.
하루빨리 퍼즐러 갱의 손안에 쥐고 싶은 놈들입니다.

때로는 아래 사진 속 공명쇄처럼 기하학적 문양을 새겨서 고도의 미적 감각을 유지시킨 공명쇄도 있습니다.
빅토리아 아이보리 버(Victorian Ivory Burr)라는 놈입니다.
상아로 만들어진 것이구요.

상아로 만든 기본적인 형태의 공명쇄는 아래와 같습니다. 모양이 심플합니다. 
상아 제품은 현재 국제적으로 금지되어 있으니 희귀하다고 할 수 있겠습니다.

(이상 사진 출처: www.puzzlemuseum.com)

퍼즐러 갱이 소장하고 있는 우리나라 공명쇄의 경우 우리 나라 고유의 단청 문양과 색상을 입혀 놓았습니다. 대신 나뭇조각은 밋밋하기만 합니다.

 

아래 사진은 '이중 공명쇄(Double Kongmin Lock)'라는 퍼즐로서, 기존의 단일 공명쇄를 이중으로 연결시켜 놓은 공명쇄의 변형도 있습니다. 아래 사진속 퍼즐은 퍼즐러 갱이 보유하고 있는 이중 공명쇄입니다.

 

아래 사진은 공명쇄를 하나의 예술 작품으로 승화시킨 것입니다.
호주의 Surfers Paradise라는 곳에 있는 조형물로서 실제 퍼즐은 아니라고 합니다. 사진 속 인물은 그 유명한 빈코(Vinco)입니다.
자세히 보면 디자이너가 공명쇄를 염두에 두고 아래 예술 조형물을 만든 것인지 아닌지 알 수가 없습니다. 암튼 외관상 비슷하기에 재미삼아 올려봅니다.

(출처: Mr. Puzzle 사이트)

아래 사진은 자이언트 공명쇄입니다.
호주의 브라이언 영(Brian Young)이라는 퍼즐러의 작품입니다.
실제 공명쇄입니다. 특히 아랫부분에 이중으로 복잡한 공명쇄를 연결시켜 놓은 것이 특징적입니다.

(출처: Mr. Puzzle 사이트)

아래 사진은 IPP 25 (헬싱키) 행사 당시의 행사장에 마련된 대형 공명쇄입니다. 실제의 공명쇄 퍼즐이구요.

(출처: Mr. Puzzle 사이트)

그런데 이런 공명쇄의 기본 원리는 동서양을 막론하고 건축 공학적 측면에서 오래전부터 사용되어진 기법이라고 합니다.
아래의 사진을 자세히 한번 살펴 보시기 바랍니다.

(출처 http://www.cyclopaedia.org/)

 

(출처: http://uwdc.library.wisc.edu/)

바로 위 그림을 보면 공명쇄와 유사한 부분이 보일 것입니다.
그림이 너무 작아서 잘 보이지 않는다면 그림 위에서 마우스를 클릭해 보세요.
그러면 사진이 확대됩니다.

마치 숨은 그림 찾기 하는 것 같지요?

헤헤헤. 그렇습니다. 숨은 그림 찾기입니다. 공명쇄를 한번 찾아보시지요.

(참고로 위 그림은 Ephraim Chambers(1680~1740)가 1728년에 저술한 'Cyclopaedia, or, An universal dictionary of arts and sciences' 라는 책의 권두화(卷頭畵)입니다. 화가는 John Sturt이구요.
그런데 이 그림은 이미 1698년에 그려진 명판화를 좌우대칭으로 해서 복제한 것이라고 합니다.)

찾지 못한 분들을 위해 해답을 말씀드리겠습니다.
해답을 말씀드리면 위 그림에서 좌측 하단 부분을 보시면 아래 그림과 같은 부분이 있습니다. 
위 사진의 아래 왼쪽 부분을 확대한 것입니다.

 

공명쇄가 맞지요?
그렇다면 유럽에서는 이미 1698년 경에 공명쇄가 일반화되어 있었다는 것을 알 수 있습니다. 이처럼 권두화에서 공명쇄 퍼즐 관련 힌트를 최초로 발견한 사람은 다름 아닌 제리 슬로컴(Jerry Slocum)이라고 합니다.

이 사실이 발견되기 전까지는 공명쇄는 중국으로부터 유럽으로 18세기 후반에 전파된 것이라고 일반적으로 믿고 있었습니다.
이유는 제리 슬로컴(Jerry Slocum)과 디터 헵하르트(Dieter Gebhardt) 가 1785년 베를린의 Peter Friedrich Catel 이라는 상인의 상품 카탈로그에 공명쇄를 광고하는 홍보 문구가 있었다는 것을 밝혀 내었기 때문이지요. 여기에서는 'The Small Devil's Hoof'라는 이름으로 소개되었다고 하는군요. 

아울러 현재 발견된 추가적인 것으로는 1803년에 독일에서 G. H. Bestelmeier의 카탈로그에도 등장했다고 합니다.

그런데 제리 슬로컴은 자신이 발견한 1785년 기록보다 훨씬 이전의 기록을 새로 발견한 것이지요. 자신이 세운 기록을 자신이 다시 갱신한 것입니다.
참으로 놀라운 분이 아닐 수 없습니다.

공명쇄 관련해서 미국에서 가장 빠른 특허는 1917년의 오스카 브라운(Oscar W. Brown)이 등록한 US Patent No. 1,225,760 이라 합니다.
아래 사진이 당시 특허 출원 문서의 일부입니다.

 

그러나 이미 그 이전에 책을 통해서 6조각 공명쇄는 소개된 상태였지요.
퍼즐계에서는 불후의 명작이라고 할 수 있는, 호프만(Hoffmann) 교수가 1893년에 펴낸 'Puzzles Old and New'라는 책의 3장(Chapete III)에서 이미 'The Nut (or Six-piece) Puzzle'이란 이름으로 소개되어 있었습니다.
아래 그림이 책 속에 소개되어 있는 내용입니다.

스페인에서는 Pablo Minguet y Irol (1700~1775)이 1733년에 저술한 마술 관련 책에 공명쇄가 언급되어 있다고 합니다. 아래 사진이 책속에 있는 공명쇄 관련 내용입니다. 
마술 책에서 퍼즐을 언급한 것을 보면 역시나 퍼즐과 마술은 사촌지간이 맞는 것 같군요.

(이상 사진 출처: Rob's Puzzle Page)

눈썰미기 있는 분이라면 위 세 그림을 자세히 보시면 공명쇄의 나뭇조각 가운데 부분에 조각되어 있는 모양이 약간 다르다는 것을 눈치챌 수 있을 것입니다.

즉, 6조각 공명쇄는 겉으로 보이는 모습은 모두 동일하지만 가운데 부분에 조립되어 있는 부분은 서로 다를 수 있답니다. 6개의 나무 조각을 어떻게 파느냐에 따라 겉모습은 같지만 내부 구조와 분해 조립 방법이 다른 공명쇄가 수도 없이 많다는 소리지요.
자 이것을 설명해 보겠습니다.

위 그림에서 보면 공명쇄를 구성하는 하나의 나뭇조각을 조각하는 방법에는 가운데 부분의 12조각을 어떻게 조각하느냐에 따라 이론적으로는 4,096가지의 나뭇조각 모양이 나올 수 있다고 합니다.
각종의 나뭇조각 모양에 1번부터 4,096번까지 고유 번호를 붙여서 분석을 한답니다.
일반적으로는 Jurg von Kanel의 넘버링 시스템을 이용하지요.

이 중에서 하나의 나뭇조각이 두개 이상으로 잘려지는 현상 등을 배제하면 현실적으로는 837가지의 나뭇조각 모양이 나오구요.
이것들을 다시 현실적인 공명쇄를 만들 수 있는데 사용 가능한 나뭇조각 수를 세어보면 369개의 나뭇조각 종류가 된다고 합니다. 이것을 이용해서 119,979 종류의 공명쇄를 만들 수 있다고 하는군요.

아래 사진을 보시면 세가지 종류로 나뭇조각을 분류할 수 있습니다.
A는 Notchable B는 Unnotchable, C는 Notchable이기는 하지만 다른 Notchable 나뭇조각들과 조립결합이 되지 않는 것입니다.
Notchable은 한쪽 면이 뚤려 있어서 톱이나 다도 칼(Dado Blade)로 바로 만들 수 있는 것, Unnotchable은 한쪽 면이 막혀 있어서 끌을 이용해서 만들 거나 Notchable을 먼저 만든뒤에 홈에 딱 맞는 육면체 나뭇조각(큐브)을 붙여서 만드는 수밖에 없는 것입니다.
B의 Unnotchable 나뭇조각은 일반적으로 안쪽에 공간이 없는 공명쇄(Solid Burr)를 만드는데 사용될 수 없는 나뭇조각이구요. 즉, 반대로 해석하 B 유형의 나뭇조각을 이용하여 공명쇄를 만들면 공명쇄 안쪽에 공간(홈)이 생기는 공명쇄가 만들어진다는 의미입니다.
따라서 분석가들은 주로 A 유형의 Notchable 나뭇조각을 대상으로 분석을 합니다.

 

Notchable 나뭇조각에는 총 59개의 유형이 있으며, 현실적으로 공명쇄를 만드는데 사용되는 Notchable 나뭇조각은 25개라고 합니다. 이것을 'The Set of 25 Notchable Pieces'라고 부릅니다.
그 25개의 나뭇조각은 아래와 같습니다.

(아래 그림은 Rob's Puzzle Page에서 찾은 것입니다. 내용은 동일하지만 위 그림과 형식과 배열이 다르기 때문에 참고삼아 첨부해 봅니다.)

 

 

혹시 가지고 계신 공명쇄가 있다면 분해해 본 뒤에 위 그림에서 나오는 것이 아닌 나뭇조각이 있다면 퍼즐러 갱에게 알려 주시지요.
퍼즐계에 발표해 보는 것도 좋을 것 같습니다.

퍼즐러 갱 기계적 퍼즐을 수집하기 시작할 초기에는 공명쇄는 딱 한종류만 있는 줄 알고선, 겉모양이 모두 동일하니깐, 중복 수집인 줄 알고 관심을 가지지 않았었습니다.
그러나 위에서 말했듯이 공명쇄를 구성하는 나뭇조각들의 모양이 모두 다르다는 것을 알고는, 이제는 겉모습이 아니라 실제 구성 나뭇조각의 모양을 보고 추가적으로 수집을 한답니다.

여기서 잠깐,
역시 외모나 외관만 보고 사람을 평가하면 안된다는 것을 공명쇄를 보고 다시 한번 느끼게 됩니다.
내면을 꼼꼼히 살펴보고 평가하는 것이 중요하겠지요.

아참.
위 그림에서 나오는 것과 기본적으로 모양은 동일한데, 좌우 대칭 또는 상하 대칭시키면 똑같은 나뭇조각들이 있을 수 있습니다.
위의 25개 나뭇조각은 대칭적인 구조를 가지고 있는 것은 제외한 것입니다요.
오해 없으시기 바랍니다~~~

이 25개의 나뭇조각을 가지고서 6조각 공명쇄를 314 종류나 만들 수 있다고 합니다.

이 314 종류의 공명쇄 중에서, 동일한 나뭇조각을 두개 이상 사용하는 공명쇄, 대칭으로 보면 동일한 나뭇조각을 이용하는 공명쇄, 두가지 이상의 솔루션(분리 또는 조립 방법)이 있는 공명쇄를 제외시키면, 딱 한가지의 공명쇄가 나온답니다. 이름하여 'Burr No. 305'입니다.
No. 305의 의미는 빌 커틀러(Bill Cutler)가 분석한 공명쇄 종류표에 있는 공명쇄 번호입니다.
Burr No. 305에 사용된 나뭇조각은 아래 그림에서와 같이 6, 12, 14, 21, 22, 23 번이라고 합니다.

자 이제는 공명쇄의 난이도(Difficulty Level)에 관한 것입니다.

난이도는 아무래도 나뭇조각을 공명쇄에서 분리하는 과정에서 몇번의 경우의 수가 있는가 그리고 실제로 몇번을 움직여야 하는가에 의해서 결정된다고 할 수 있겠습니다.
따라서,
첫번째 나뭇조각을 분리할 수 있는 경우의 수 --> 두번째 나뭇조각을 분리할 수 있는 경우의 수 --> 세번째 나뭇조각을 분리할 수 있는 경우의 수 --> 네번째 나뭇조각을 분리할 수 있는 경우의 수 --> 다섯번째 나뭇조각을 분리할 수 있는 경우의 수 --> 여섯번째 나뭇조각을 분리할 수 있는 경우의 수 형식을 취하면서 전체 공명쇄를 분해하는 움직임 횟수를 계산합니다.

이런 식으로 해 보면 공명쇄 분리를 위한 총 경우의 수가 나옵니다.
이 총 경우의 수를 가능한 해법의 수로 나누면 공명쇄의 난이도가 됩니다.
따라서 난이도 숫자가 클 수록 어려운 공명쇄이겠지요.

위 Burr No. 305의 난이도는 3,840 입니다. 이 숫자는 10 x 8 x 6 x 4 x 2의 결과입니다.
솔루션이 딱 한가지 밖에 없으니 3,840이 그대로 난이도 숫자가 되는 것이지요.

그런데 이 퍼즐의 난이도가 가장 어려운 것은 아닙니다.
Burr No. 306이란 놈도 있습니다.
이 공명쇄를 구성하는 나뭇조각은 아래 사진과 같습니다.
6, 9, 12, 21, 22, 23번으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다.

이놈의 난이도는 7,680 이라고 하는군요.
Burr No. 305의 딱 두배가 되는군요.
Burr No. 305와 비교했을 때 구성 나뭇조각은 딱 한가지만 다르다는 것을 알 수 있겠지요?

이상은 공명쇄의 안쪽에 빈 공간이 없는 경우에 해당하는 Solid Burr에 관한 것이었습니다.

공명쇄 안쪽에 빈 공간이 있는 공명쇄(Holey Burr)를 생각한다면 이는 또다른 경우입니다.
위에서 설명한 Unnotchable 나뭇조각들을 이용하면 홀리 공명쇄(Holey Burr)를 만들 수 있다고 하는군요.

아래 사진은 'Bill's Baffling Burr'라는 놈입니다.
조립하면 안쪽에 구멍이, 즉 빈 공간이 7개가 생긴다고 합니다. 해법은 딱 한가지만 존재하구요.
자세히 보면 두 개의 Unnotchable 나뭇조각이 사용된 것을 알 수 있습니다.
자, 몇번째가 Unnotchable 나뭇조각인지 구분할 수 있겠습니까?

(이상 사진 출처: Puzzle World 사이트에 소개되고 있는 스튜어트 코핀(Stewart T. Coffin)의 The Puzzling World of Polyhedral Dissections(Oxford University Press, 1990) 이라는 인터넷 판 책)

그렇습니다.
맨 마지막 두개가 Unnotchable입니다요~~

앞에서 말한 59 종류의 Notchable 나뭇조각으로는 총 13,354,991 종류의 공명쇄를 만들 수 있다고 하는군요. 물론 이 중에서 314 종류만 공명쇄 안쪽에 공간이 없는 Solid Burr이고 나머지는 모두 공명쇄 안쪽에 빈 공간이 생기는 Holey Burr라고 합니다.

참고로 예전에 올린 글의 내용을 그대로 가져와 파란색 굵은 글씨로 제시해 봅니다.

이론적으로는 35,657,131,235개의 6조각 버가 있습니다. 워낙 숫자가 커서 읽기 힘들지요?
356억5천7백1십3만1천2백35개입니다.

이 중에서 대략 59억5천만개 정도만이 현실 세계에서 6조각 버(Burr)로 형성이 가능하다는 것을 빌 커틀러가 컴퓨터 분석을 통해서 밝혀 냅니다.

이 중에서 특히 119,979개만이 버 안쪽에 홀이 없는 버라고 합니다. 이런 버를 Solid Burr라고 합니다. 369개 유형의 조각을 가지고서 119,979개의 Solid Burr를 만들 수 있다고 합니다.

이론적으로 현실 세계에서 가능한 59억 5천만개 정도의 버는 대부분 버 안쪽에 홀이 있는 버라고 합니다. 이런 버를 Holey Burr라고 합니다. 이론적으로 Holey Burr에는 홀이 1개에서부터 20개까지 있을 수 있다고 하는군요. 

이제는 공명쇄 퍼즐계에서 사용하는 용어인 Level 에 대해서 설명하도록 하겠습니다.
6조각으로 완성된 공명쇄의 초기 상태에서 공명쇄를 분리하기 위해서는 첫번째 나뭇조각을 빼내야 할 것입니다. Level은 이 첫번째 나뭇조각을 빼 내는데 필요한 움직임 횟수를 가리키는 용어입니다.
Leve 8이라고 하면 첫번째 나뭇조각을 8번 움직여야 분리가 가능하다는 소리이지요.

전반적으로 Holey Burr의 난이도(Level)가 Solid Burr의 난이도(Level)보다 높습니다. 그만큼 Holey Burr를 풀거나 조립하기가 훨씬 어렵다는 말이지요.

Bill's Baffling Burr는 레벨이 5입니다.
1985년에는 이스라엘의 Gaby Games라는 사람이 레벨 7-4 공명쇄를 개발합니다. 7은 첫번째 나뭇조각을 분리하는데 소요되는 움직임 수, 4는 두번째 나뭇조각을 분리하는데 소요되는 움직임 수랍니다.
최근에는 Peter Marineau라는 사람이 레벨 9 공명쇄를 개발해서 퍼즐 세계를 놀라게 했습니다.

아래 표는 레벨에 따른 공명쇄 퍼즐 종류 수와 그 공명쇄 퍼즐 중에서 해법이 딱 하나뿐인 공명쇄 퍼즐의 수를 정리해 놓은 것입니다.

Level	총 퍼즐 수	해법이 딱 하나뿐인 퍼즐 수
12	1	0
10	373	18
9	6,792	355
8	60,784	5,254

이처럼 공부하면 할수록 깊이있는 분석 결과가 나오는 것이 공명쇄랍니다.
그래서 세계적인 컴퓨터 및 서버 회사인 IBM에서는 공명쇄 관련 연구 결과를 하나의 사이트로 운영하고도 있습니다.
Jurg von Kanel가 운영하고 있지만 IBM의 연구 지원을 받고 있는 것이지요.
(참조: http://www.research.ibm.com/BurrPuzzles/index.html)

참 신기한 일입니다.
디지털 분야의 세계적 선두주자인 IBM에서 아날로그식 공명쇄를 연구하고 있다니 말이죠. 
아날로그에 대한 디지털 식 분석, 디지털 시대에서의 아날로그에 대한 향수 등등이 복합적으로 섞여 있는 것 같습니다. 

그리고 세계의 퍼즐러들 코너에서 이미 소개한 적이 있는 '버(Burr)하면 떠오르는 빌 커틀러(Bill Cutler)를 소개합니다.' 글에서의 빌 커틀러(Bill Cutler) 또한 컴퓨터 분석가인 것을 감안하면 디지털과 아날로그의 융복합은 큰 의미를 지니는 것 같습니다. 

자 이제부터는 각종 공명쇄의 나뭇조각 구성을 소개해 보겠습니다.
겉모습은 기본 공명쇄이지만 공명쇄를 구성하는 나뭇조각의 모양이 모두 다르다는 것을 직접 보여드리기 위함입니다. 
편의상 Rob's Puzzle Page에 소개되고 있는 것으로서, Rob Stegmann이 도식화한 나뭇조각 모양을 제시해 보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

혹시 가지고 계신 공명쇄가 있다면 그 공명쇄 구성 조각의 모양들이 어떤 모습을 가지고 있는지 한번 꼼꼼이 살펴보는 것도 재미가 있을 듯 합니다.

위에서 언급한 기본적인 25개의 Notchable 나뭇조각을 가지고서도 안에 공간이 있는 Holey Burr를 만들수 있다고 하는군요.
퍼즐러 갱이 현재까지 인터넷상으로 확인한 것은 5종류입니다.
그 퍼즐들의 이름은 각각 LLMTUY, EOOQYY, KLMUYY, LMQXY, KNOUXX 입니다. 
퍼즐 이름이 꼭 무슨 암호 같지요?
다름이 아니라 25개의 Notchable 나뭇조각에 알파벳 이름을 붙이고, 공명쇄를 구성하는 나뭇조각의 알파벳 고유 이름을 이어서 공명쇄 이름을 만든 것이랍니다. 퍼즐계에서의 일종의 공통 언어(Common Language)라고 할 수 있습니다.

에구.
말이 무척 길어졌군요.
공명쇄 관련 내용을 정리하다 보니 퍼즐러 갱이 다시 읽어보아도 내용이 복잡하고 어렵기만 하군요.
그래서 여기서 그만 그치렵니다.

아참.
안타깝게도 이상의 내용은 주로 외국 사이트에서 정보를 구하고 요약 정리한 것입니다. 국내 사이트에서는 공명쇄라고 입력하고 탐색해 보아도 뭐 특별한 정보가 없더라구요.
분명히 우리나라에도 고문서나 한옥 건축 분야에 공명쇄 관련한 내용이 있을 듯 한데 퍼즐러 갱 실패했습니다.
이점 양해해 주심 감사하겠습니다~~

(이상 참조: www.puzzlemuseum.com, www.puzzleworld.org, Rob's Puzzle Page)

 

오늘도 해피 퍼즐링~~

 *아래 화면은 퍼즐러갱이 개설한 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!