마방진 뒷 이야기 18: 3차원 입체 마방진 (Magic Square Cubes)

마방진 관련해서 자료를 찾다 보면 이 세상에는 참 신기한 내용도 많다는 생각을 절로 하게 됩니다.
그리고 참 많은 사람들이 이미 마방진에 관해서 연구를 해 놓았고, 발견해 낸 사실도 많다는 것을 알게 됩니다.

3차원 입체 마방진 관련해서도 그렇습니다.

현재까지 퍼즐러 갱은 3차 입체 마방진에서부터 11차에 이르기까지 참 많은 종류의 입체 마방진을 보았습니다.
누가 보면 참 할 일도 없는 사람들이라고 생각할 수도 있겠지만,
그 신기한 마방진의 세계에 빠져들어 깊이있는 연구를 한 사람들이 참 많더군요.

입체 마방진이란 말 그대로 3차원 3D 입체 마방진입니다. 평면상에서 이루어지는 2D 마방진이 아니라 공간상에서 이루어지는 3D 입체 마방진입니다.

이번 포스트에서는 그저 3차와 4차의 입체 마방진을 보여드리는 것에 그치도록 하겠습니다. 
3차원 입체 마방진 관련해서만도 수많은 논문과 자료들이 있는데 퍼즐러 갱 아무리 마방진에 심취해 있다 할 지라도 그 많은 내용을 다 읽지도 못했고, 이해하지도 못했고, 설사 다 읽고 이해했다 할 지라도 여기에 다 적을 수는 없는 노릇.

그래서 이런 것도 있구나 하는 느낌이 들 정도로만 제시하는 선에서 그칠랍니다.

다만 세계 최초로 입체 마방진을 발견한 사람은 앨런 아들러 (Allan Adler) 입니다.
아들러는 10살때부터 마방진에 심취한 이후로 마방진 관련해서는 현대의 대표적 수학자입니다.
그는 컴퓨터를 이용하여 세계 최초로  3*3*3 3차 입체 마방진을 만들어낸 사람입니다.

그가 만들어낸 입체 마방진은 아래와 같습니다. 

가로 세로 대각선 어느 방향으로든지간에 3개 숫자의 합을 구해보면 42가 나옵니다.
참 신기한 입체 마방진입니다.

다음은 아들러가 고안해 낸 것은 아니지만 아들러 이후에 많은 사람들에 의해 발견된, 만들어진 3차원 입체 3차 마방진입니다. 퍼즐러 갱이 구글링을 하여 발견한 것을 그림으로 표현해 본 것입니다.
그러나 이러한 입체 마방진을 이야기할 때 항상 앨런 아들러 (Allan Adler) 의 입체 마방진을 떠올립니다.
매직 스퀘어 큐브 (Magic Square Cube) 하면 아들러를 떠올린다는 의미이지요.
역시 이 세상에 이름을 날리려면 최초이어야 좋겠다는 생각을 해 봅니다.
어떤 이는 1등만 기억하는 더러운 세상이라고 하지만서두요....

 

 

위 입체 마방진을 보면 2층의 한가운데 있는 셀의 값은 모두 14임을 알 수 있습니다.
3차 마방진에서 한 가운데 있는 셀의 값은 5.
입체 3차 마방진(3차 마방진 큐브) 에서 한 가운데 있는 셀의 값은 14.
무슨 연관성이 있을까요?
그렇습니다.
바로 그것입니다.
사용된 숫자 중에서 가운데 있는 숫자입니다.
3차 마방진의 경우 1에서 9까지의 숫자 중에서 한가운데 오는 숫자는 5.
3차 마방진 큐브의 경우 1에서 27까지의 숫자 중에서 한가운데 오는 숫자는 14.
5와 14는 이런 의미를 지니고 있답니다.

그리고 위 입체 마방진에서 아들러의 입체 마방진을 제외하고는 모두 한 가운데 기둥에 오는 숫자는 9, 14, 19 이군요.

다음은 4차 입체 마방진 (4차 마방진 큐브) 입니다.

예전글 '마방진 뒷 이야기 3: 알브레히트 뒤러 (Albrecht Durer) 의 마방진 총정리' 글에서 이미 소개한 것부터 다시 적어 보겠습니다. 이 입체 마방진의 특징은 알브레히트 뒤러의 4차 마방진을 이용하여 입체 마방진을 만들었다는 것이며, 마방진 중에 음수가 나온다는 것입니다.

맨 위의 마방진 (Albrecht Dürer 의 마방진)

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

위에서 두번째 마방진

44	55	-26	-39
36	-17	22	-7
-35	-30	51	48
-11	26	-13	32

위에서 세번째 마방진

-51	-14	27	72
24	75	-46	-19
76	23	-18	-47
-15	-50	71	28

맨 아래의 마방진

25	-10	31	-12
-31	-34	47	52
-16	35	-6	21
56	43	-38	-27

이 입체 마방진을 음미하시려면 아래의 그림처럼 각각의 숫자를 더해보면 그 진가를 알 수 있습니다.
물론 이하에서 보여드리는 마방진도 동일합니다. 

또다른 4차 입체 마방진입니다.

위 두개의 4차 입체 마방진은 서로 다른 것 같지만 사실은 동일한 것입니다.
배열만 살짝 바꾼 것에 불과하거든요.

이러한 입체 마방진 관련해서 그 유형도 상당하더군요.
그리고 그 유형별로 매우 다양한 마방진 큐브가 존재하구요.

에궁.
이번 포스트는 너무 밋밋하네요.
양해해 주세요~~~

참고 사이트:
1. http://dairyong.hosting.paran.com/index.htm
2. http://www.magic-squares.net/index.htm

 

*아래 화면은 퍼즐러갱이 개설한 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!