마방진이 무엇인지는 다들 아실 겁니다. 그래서 본 블로그에서는 일반적이지 않은 좀 색다른 내용을 중심으로 구성해 보려고 합니다.
(예를 들면 마방진의 정의나 만드는 방법 등에 대해서는 신씨네 홈페이지 (http://user.chollian.net/~brainstm/) 를 들어가보면 자세히 설명되어 있습니다. 참조하시기 바랍니다.) 

현재 인기몰이를 하고 있는 '뿌리깊은 나무' 드라마 초반에 마방진이 소개되면서 최근에 마방진에 대한 관심도가 높아진 것 같습니다.

마방진은 기본적으로 논리 퍼즐 (Logic Puzzle) 에 해당됩니다. 그러나 이 논리 퍼즐을 손으로 만지면서 가지고 놀 수 있도록 기계적 퍼즐로 변환하여 만든 퍼즐이 있습니다. 바로 아래 사진처럼 말이죠.

(출처: http://paxpuzzle.com/index.php)

위 퍼즐을 유심히 살펴보면 마치 '15 퍼즐' 인 것 같은 착각에 빠집니다. 그러나 정작 15 퍼즐이 아니고 마방진이랍니다. 그 이유는 15 까지만 숫자가 있는 것이 아니라 16 이라는 숫자가 하나 더 있기 때문이지요.
물론 16 이라는 숫자가 적혀 있는 나뭇조각을 빼내면 15 퍼즐로도 활용하여 가지고 놀 수도 있습니다.

퍼즐러 갱의 로망인 퍼즐 박물관 (http://www.puzzlemuseum.com/) 에서도 앤틱 마방진 퍼즐을 소개하고 있습니다.

(출처: www.puzzlemuseum.com)

퍼즐러 갱의 놀이터인 Rob's Puzzle Page 에서도 약간의 마방진을 소개하고 있습니다. 아래 사진처럼 말이죠. 


 (출처: http://home.comcast.net/~stegmann/home.htm)

그래서 퍼즐러갱 용기를 내어 기본적인 속성은 논리 퍼즐이지만 기계적 퍼즐로도 간주할 수 있는 마방진을 좀 소개해 보려 합니다.

마방진은 가로 또는 세로 칸의 수에 따라 3차 마방진, 4차 마방진, 5차 마방진 ... 등이 있습니다.
본 글에서는 제목처럼 3차 마방진에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 
(3차 마방진이라는 표현은 3×3형 마방진, 3×3 마방진, 3*3 마방진, 3방진 등으로도 다양하게 불리고 있으나 여기서는 가장 많이 사용되는 표현인 3차 마방진이라는 표현을 사용하도록 하겠습니다.)

제목에서 말씀드린 것처럼 3차 마방진은 이세상에 딱 하나밖에 없습니다.(단정적인 표현입니다.)
참고로 4차 마방진은 880개가 존재한다고 알려져 있습니다. 5차 마방진은 275,305,224 개가 있다고 합니다.

그 딱 하나뿐인 3차 마방진은 바로 아래와 같습니다. 일종의 기본 3차 마방진입니다.

8

1

6

3

5

7

4

9

2

어라? 이것 하나뿐이라고? 3차 마방진은 위의 것 말고도 아래와 같은 것들이 많이 있는데?

4

9

2

3

5

7

8

1

6


6

1

8

7

5

3

2

9

4


2

9

4

7

5

3

6

1

8


4

3

8

9

5

1

2

7

6


8

3

4

1

5

9

6

7

2


2

7

6

9

5

1

4

3

8


6

7

2

1

5

9

8

3

4

예 맞습니다. 위의 것들도 3차 마방진입니다. 그런데 3차 마방진은 이세상에 단 하나뿐이라고 하니 도대체 무슨 말일까요?
눈치빠른 분들은 눈치를 챘겠지만 기본적인 마방진을 요리저리 순서만 바꾼 것들입니다.
즉, 좌우대칭해 보거나, 상하대칭해 보거나, 회전대칭해 보거나 하면 결국 기본 마방진과 같은 숫자의 배열이 되지요.
그리고 이것은 3차 마방진의 한가운데에 있는 수는 항상 5 인 것을 보아도 알 수 있습니다.

그렇다면 3차 마방진은 왜 하나뿐일까요?
이것을 증명할 수 있을까요?
예 증명할 수 있답니다.
그리 어렵지는 않습니다. 다만 조금 긴 논리 전개가 있을 뿐입니다.
퍼즐러갱이 여기서 그것을 증명해 보겠습니다.
내용이 좀 길어서 4단계로 나누어 설명하겠습니다.

1. 각 행, 각 열, 각 대각선에 있는 숫자의 합은 15 입니다.

A

B

C

D

E

F

G

H

I


1부터 9까지 중복되지 않게 기입을 해야 하기 때문에,
A+B+C+D+E+F+G+H+I = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 입니다.
(물론 여기서 A=1, B=2, C=3,  ... I=9 라는 말은 아닙니다.)

그런데 각 행의 합은 같아야 하므로, 
A+B+C = D+E+F = G+H+I 가 됩니다.
A+B+C+D+E+F+G+H+I = 45 식에 D+E+F 와 G+H+I를 A+B+C로 대체하면
(A+B+C) + (A+B+C) + (A+B+C) = 45
따라서 3(A+B+C) = 45
결국 A+B+C = 15
아울러 D+E+F = G+H+I = 15

마방진의 성격에 의해서 열과 대각선의 합도 15가 됩니다.
즉, A+D+G = B+E+H = C+F+I = A+E+I = C+E+G = 15

2. 한가운데 자리 E에 올 수 있는 숫자는 5 뿐입니다.
가운데 E를 중심으로 나머지 칸의 숫자들이 한번씩 들어가도록 두번째 행, 두번째 열, 양쪽 대각선을 모두 더해 보면,
(D+E+F) + (B+E+H) + (A+E+I) + (C+E+G) = (A+B+C+D+E+F+G+H+I) + 3E = 15×4 = 60
45 + 3E = 60
E = 5

3. 숫자 1은 모서리 부분에 갈 수 있는 것이 아니라 각 행이나 열의 가운데 자리에 갈 수밖에 없습니다.
바로 윗 단계에서 증명이 된 E = 5 에 의해, E 자리에 일단 5를 기입한 상태에서 설명을 이어가겠습니다.

A

B

C

D

5

F

G

H

I


이제 1의 위치를 정해야 하는데 속성상 모서리 부분인 A, C, I, G 자리와 각 행이나 열의 가운데 자리인 B, F, H, D 자리로 나누어 설명하겠습니다.
먼저 A, C, I, G 중에서 대표적으로 A 자리를 예로 들어 설명하겠습니다.
만일 A = 1 이라고 가정하면, 대각선 AEI 에서 A+5+I = 15 이므로,
1+5+I = 6+I = 15
I = 9 가 됩니다.

이것을 위 마방진에 기입해 보겠습니다.

1

B

C

D

5

F

G

H

9


이 상태에서 열 CFI와 행 GHI 자리를 생각해 보겠습니다.
C, F, G, H 자리 중 어느 한 칸에 6 을 넣어보면,
GHI 행이나 CFI 열은 이미 I 가 9이므로 다른 한 칸을 채우기도 전에  6+9 = 15 가 되어 버립니다.
다른 숫자를 넣으면 15보다 커져 버리는 것이지요.
따라서 C, F, G, H 자리에는 6이 올 수 없게 됩니다. 

물론 7과 8을 넣어도 마찬가지입니다.
이미 두 숫자의 합이 7+9 =16, 8+9 = 17 이 되어버려서 마방진이 성립할 수 없게 되지요.

따라서 C, F, G, H 칸에는 6, 7, 8 대신에 2, 3, 4만 올 수 있습니다. (1과 5는 이미 자리를 차지하고 있으므로)
만일 C 칸에 2가 온다면, ABC 행의 합이 15가 되어야 하는 조건에 의해서, B = 12 가 됩니다.
9 이상의 숫자이기 때문에 있을 수 없는 현상이지요.
마찬가지로 3과 4를 넣어도 B=11, B=10 이 됩니다. 9 이상의 숫자이기 때문에 역시 있을 수 없는 현상이지요. 
따라서 A 자리에 1이 오면 I 자리는 자동적으로 9가 되며, 이렇게 되었을 때, C, F, G, H 자리에 올 수 있는 숫자가 없는 자기모순에 빠지게 됩니다.
즉, A 자리에는 1이 올 수 없다는 것이 되지요.

이것은 A 자리가 아니어도 C, I, G 자리는 모두 모서리로서 동일한 원리와 논리로 C, I, G 자리에는 1이 올 수 없게 됩니다.

4. 숫자 6과 8은 모서리 부분에 위치할 수밖에 없습니다.
그렇다면 1이 올 수 있는 자리는 B, F, H, D 칸 뿐입니다.
먼저 B 칸에 1을 넣어보면 아래와 같습니다.

A

1

C

D

5

F

G

H

I


위 마방진에서 가운데 열의 합이 15이므로 H는 자동적으로 9가 되겠지요.

A

1

C

D

5

F

G

9

I


이 상태에서 첫번째 행의 A 자리에 무슨 숫자를 넣을 지 한번 보겠습니다.
A 자리에 2를 넣어보면 첫번째 행에서 C=12 가 되어 성립 불가(9보다 크므로).
3과 4를 넣으면, C= 11, C=10 이 되어 역시 성립 불가(9보다 크므로).
따라서 A 자리에 올 수 있는 숫자는 6, 7, 8 중의 하나가 됩니다.

먼저 7을 넣어 보겠습니다.

7

1

C

D

5

F

G

9

I

그러면 첫번째 행에서 C 칸은 7이 됩니다. 동일한 숫자가 두번 들어가므로 성립 불가.

이제 6을 넣어 보겠습니다.

6

1

C

D

5

F

G

9

I


위에서 차근차근 비어있는 칸을 찾아서 숫자를 넣어가면 됩니다.
C=8, G=2, D=7, F=3, I=4 가 됩니다.
이것을 완성된 마방진으로 표시해 보겠습니다.

6

1

8

7

5

3

2

9

4


이제는 8을 넣어 보겠습니다.

8

1

C

D

5

F

G

9

I


마찬가지로 위에서 차근차근 비어있는 칸을 찾아서 숫자를 넣어가면 됩니다.
C=6, G=4, D=3, F=7, I=2 가 됩니다.
이것을 완성된 마방진으로 표시해 보겠습니다.

8

1

6

3

5

7

4

9

2


위 두개의 마방진이 온전한 마방진으로 성립하게 되지요.

그런데 사실 위 두개의 마방진은 좌우대칭일 뿐입니다.
즉, 좌우대칭을 동일한 마방진으로 생각하면 동일한 마방진인 셈이죠.

물론 바로 위 기본 마방진에서 각 칸에 있는 숫자에 일정한 숫자를 더한 것도 마방진이 성립합니다.
또는 일정한 배수를 적용한 것도 마방진이 성립합니다.

예를 들면 아래 마방진은 바로 위 기본 마방진에 11을 모든 칸에 더한 것입니다.

19

12

17

14

16

18

15

20

13


아래 마방진은 위 기본 마방진에 3을 모든 칸에 곱한 것입니다.

24

3

18

9

15

21

12

27

6


아래 마방진은 0 에서부터 8 까지의 숫자를 이용한 3차 마방진입니다. 기본 마방진의 모든 칸에서 1 씩을 뺀 것이지요.

7

0

5

2

4

6

3

8

1


그렇다면 2 에서부터 10 까지, 3에서부터 11까지의 숫자가 들어있는 마방진도 모두 동일한 원리로 만들 수 있겠지요.

위 마방진들처럼 일정한 숫자를 모두 동일하게 더하든, 곱하든 마방진이 성립하는 이유에 대해서는 굳이 설명하지 않아도 되겠지요?

위와 같이 일정한 숫자를 더한 마방진, 일정한 배수를 적용한 마방진, 좌우대칭인 마방진, 상하대칭인 마방진, 회전대칭인 마방진을 모두 같은 것이라고 간주하면 이세상에는 딱 한가지의 3차 마방진만 있게 되는 것입니다.

이상 이세상에 3차 마방진은 딱 한개만 존재한다는 것을 증명해 보았습니다.^^

그런데 이 세상에 단 하나뿐인 이 3차 마방진에는 특이한 현상이 있습니다.
바로 아래와 같은 식이 성립하지요.

816 + 357 + 492 = 618 + 753 + 294 = 1,665
834 + 159 + 672 = 438 + 951 + 276 = 1,665

8162  + 3572 + 4922 = 6182 + 7532 + 2942 = 1,035,369
8342 + 1592 + 6722 = 4382 + 9512 + 2762 = 1,172,421

요 현상은 참 신비롭게까지 느껴집니다.

에구. 생각해 보니 다시 한번 재미있는 퍼즐 이야기가 아니라 머리아픈 퍼즐 이야기가 되어 버렸네요.
여기까지 읽으신 분들은 나름 인내력이 있는 분들이었슴을 퍼즐러갱 인정합니다.^^

암튼 마방진에 한번 빠지게 되면 시간 무지 뺏깁니다.
조심하셔야 합니다.
퍼즐러 갱도 많은 시간을 소비했네요.

시간날 때마다 특이한 마방진에 대해서 연구 조사해본 뒤에 간간이 포스팅 하도록 하도록 하겠습니다.

 


*다음은 유튜브 '퍼즐러갱TV'의 초기화면입니다. 아래 그림을 클릭/터치하여 퍼즐러갱TV를 감상해 보시지요(구독과 좋아요는 저에게 큰 힘을 줍니다)!!




Posted by 퍼즐러 갱

댓글을 달아 주세요

  1. 어잌후 2011.12.15 16:01  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    라틴마방진이라고 해서 4x4 라틴마방진이면 1~4 각각의 숫자를 4개씩 써서 겹치지 않게 놓는 것.
    지수귀문도라고 해서 9개의 벌집모양 육각형 꼭지점에 1-30까지의 수를 써서 육각형 둘레의 수의 합이 같게 하는 것.
    등등 마방진이 종류가 굉장히 많더라고요.
    /
    홀수마방진은 일반적인 공식이 알려져 있고, 한 변이 4n인 경우도 일반적인 공식이 있고. 4n+2는 잘 모르겠네요..

    • 퍼즐러 갱 2011.12.15 16:24 신고  댓글주소  수정/삭제

      어잌후님은 모르시는게 없나봐요?^^
      제가 지금 한창 재미삼아 공부하고 있는 내용을 이미 다 알고 계시네요.

    • Eucleides 2011.12.16 19:54  댓글주소  수정/삭제

      4n+2 같은 경우는 devedec의 방법이나, Conway의 LUX 방법등을 쓰면 됩니다.
      제가 가진 책 중에서는 '재미있는 영재들의 수학퍼즐'(박부성 지음)의 마방진 편에 자세히 나와 있더군요. 참고하시면 좋을 듯 합니다. (참고로 박부성씨는 puzzlist라는 필명을 쓰십니다.)

  2. Eucleides 2011.12.16 20:39  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    마방진에 적힌 수 많은 숫자들때문에 머리가 아프신 분들을 위해 재미있는 마방진을 하나 소개합니다.

    바로 이름하여 Geomagic Square. 이 특별한 마방진에는 숫자 대신에 그림이 들어갑니다.

    그림이라는 것은 구체적으로, 어떤 조각입니다. 행, 열의 합을 같게 한다는 것은 이 조각들을 잘 조합해서

    동일한 모양을 만들어 내는 일입니다. 3×3 마방진의 경우 다음과 같습니다.
    -> http://www.geomagicsquares.com/gallery.php?page=3

    이렇게 Geomagic Square는 그림조각으로 표현되었기 때문에, 조각들을 구성한다는 의미에서 일반적인

    마방진보다 기계적퍼즐에 더 가까우며, 마방진의 수학적 아름다움이 잘 묻어나서 한눈에 사람들의 시선을

    사롭잡습니다.

    숫자로 만들어진 3×3마방진은 하나지만, 모양은 아무렇게나 만들어 낼 수 있기 때문에 소개된 것 말고도

    조금만 궁리해보면 직접 자신만의 Geomagic Square를 만들 수 있답니다.

    홈사이트는 http://www.geomagicsquares.com/index.php이고, 하위 목록에서 Gallery에 들어가시면,

    작가의 더 많은 작품을 볼 수 있습니다.

  3. adsz 2012.03.16 22:54  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    6 10 4
    5 11 8
    9 3 7

  4. ... 2012.06.10 20:58  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좌우대칭, 상하대칭, 회전, 덧셈, 곱셈 같은 류로 모든 마방진을 표현할 수 있는 건 아닙니다.
    고로, 세상에 3차 마방진은 하나만 존재한다는 표현은 수정하시는게...

    ex)
    1 / 10 / 100 / 1000
    1000/ 100 / 10 / 1
    10 / 1 / 1000 / 100
    100 / 1000 / 1 / 10

  5. ... 2012.06.17 00:44  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    즉,
    4 / 3 / 8
    9 / 5 / 1
    2 / 7 / 6
    의 마방진의 각 값에 일정한 값을 더하고, 곱하는 식으로 이 세상의 모든 마방진을 표현할 수 있다면
    저 마방진은 본문에서 표현한 대로 '유일한 3차 마방진' 이라 할 수 있지만,

    실제로는 단순 연산으로 1 / 10/... 위의 마방진을 표현할 수 없기 떄문에
    4 / 3 / 8...는 '유일한 3차 마방진'이 아니며, 다른 3차 마방진도 존재한다는 뜻입니다.

    • 퍼즐러 갱 2012.06.18 10:17 신고  댓글주소  수정/삭제

      여전히 이해를 못하겠습니다.
      이해를 돕기 위해서 예를 하나 보녀주심....
      그럼 쉽게 이해할 수 있을 것 같군요.

    • 퍼즐러 갱 2012.06.21 17:25 신고  댓글주소  수정/삭제

      자세히 살펴보니 님께서 최초에 댓글을 등록하실 때 이미 예시를 제시했더군요.

      1/10/100/1000
      1000/100/10/1
      10/1/1000/100
      100/1000/1/10

      위 방진을 말이죠.

      그런데 위 방진은 마방진이 아니지요. 마방진의 기본 조건을 충족하지 못하고 있기 때문입니다. 즉 동일한 숫자가 여러번 반복적으로 사용되고 있습니다.

      대신 위와 같은 방진을 특별히 '라틴 방진(Latin Square)'이라고 부릅니다. 가로 세로에 서로 겹치는 숫자나 기호가 들어가지 않도록 하는 방진입니다.
      3차 라틴 방진은 복수로 존재합니다. 예를 들면

      1/2/3
      2/3/1
      3/1/2 이나

      1/2/3
      3/1/2
      2/3/1 처럼 말이죠.

      만일 님께서 마방진을 라틴 방진으로 여기고 3차 마방진이 여러 개 있다고 말한 것이라면 맞습니다.

      그러나 엄연히 마방진과 라틴 방진은 다른 것입니다요~~~~

      혹시 님께서 말하고자 한 것을 퍼즐러 갱이 제대로 이해하지 못하고 말한 것이라고 하면 넓은 마음으로 용서하시고 다시한번 좀더 구체적으로 설명해 주시면 감사하겠습니다~~~

  6. ... 2012.06.23 01:37  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그러고 보니 중복된 수를 썼군요...
    게다가 4차 마방진과 3차 마방진을 비교하면서 헛소리를 하고 있었던...
    수정하면

    10 / 3 / 5
    1 / 6 / 11
    7 / 9 / 2

    가로, 세로, 대각선의 합이 18이고
    중복된 수를 사용하지 않은 마방진을 얻을 수 있습니다.

    그런데
    본문에 있는 내용을 확인하면

    『위 마방진들처럼 일정한 숫자를 모두 동일하게 더하든, 곱하든 마방진이 성립하는 이유에 대해서는 굳이 설명하지 않아도 되겠지요?

    위와 같이 일정한 숫자를 더한 마방진, 일정한 배수를 적용한 마방진, 좌우대칭인 마방진, 상하대칭인 마방진, 회전대칭인 마방진을 모두 같은 것이라고 간주하면 이세상에는 딱 한가지의 3차 마방진만 있게 되는 것입니다.

    이상 이세상에 3차 마방진은 딱 한개만 존재한다는 것을 증명해 보았습니다.^^』


    라고 써있습니다만,

  7. ... 2012.06.23 01:40  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    '기본 마방진'에 사칙연산, 회전, 대칭 변환을 한다고 해도 저 예시의 마방진을 표현하기는 불가능합니다.
    ('기본 마방진'의 모든 값에 a를 곱하고 b를 더했다고 친 후, 대충 비교해봐도
    그런 a, b가 존재하지 않는다는 걸 금방 확인할 수 있습니다.)

    따라서
    『일정한 숫자를 더한 마방진, 일정한 배수를 적용한 마방진, 좌우대칭인 마방진, 상하대칭인 마방진, 회전대칭인 마방진을 모두 같은 것이라고 간주하면 이세상에는 딱 한가지의 3차 마방진만 있게 되는 것입니다.』

    라는 명제는 거짓이다... 가 제가 말하고자 하는 요지입니다.

    실제로는 엄청나게 많은 3차 마방진이 존재한다...는게 저의 대략적인 생각입니다.

    그 외에도
    9 / 5 / 4
    1 / 6 / 11
    8 / 7 / 3

    17 / 89 / 71
    113 / 59 / 5
    47 / 29 / 101

    이런 반레가 있죠...

    • 퍼즐러 갱 2012.06.25 11:15 신고  댓글주소  수정/삭제

      반례를 보니 일단 님의 말씀이 맞는것 같군요.
      시간을 내서 좀더 연구해 보고 저의 결론을 말씀드리겠습니다.
      님의 자세한 설명에 감사드립니다~~~

    • 퍼즐러 갱 2012.06.25 16:08 신고  댓글주소  수정/삭제

      퍼즐러 갱이 시간을 내어 분석해 본 결과 퍼즐러 갱의 표현이 잘못된 것을 인정합니다.

      이러한 오류가 나오게 된 원인을 천천히 생각해 보았습니다. 그리고 그 원인은 바로 용어에 대한 정확한 정의가 없었던 것이었습니다.
      그래서 표현을 아래와 같이 달리 해 보았습니다.

      "서로 연이어진 숫자가 아닌(연번이 아닌) 숫자로 구성된 3차 마방진은 많다.
      그러나 좌우 대칭, 상하 대칭, 회전 대칭이 이루어진 마방진을 동일한 것으로 간주한다면, 1에서 9로 구성된 표준(기본) 3차 마방진은 이세상에서 딱 하나뿐이다."

      적절한 예시를 통해 퍼즐러 갱의 잘못된 표현을 지적해 주신 님께 감사드립니다.